Familias cariñosas

Enunciado

Hemos de estudiar cómo se relacionan el número de besos y abrazos con la cantidad de hombres y mujeres de cada una de las familias.

Supongamos que una familia está formada (por ejemplo), por 2 hombres y 5 mujeres, y la otra, por 4 hombres y 3 mujeres.

Los hombres se abrazan sólo a los hombres, por lo que el número de abrazos total se calcula multiplicando 2 por 4, que da un total de 8. Las mujeres, dan besos a todos los hombres y las mujeres de la familia opuesta, por lo que el número de besos es de 5*(4 + 3) + 3*(2 + 5) , es decir, 35 + 21 = 56.

Corrección: Por comentario de un anónimo, me doy cuenta de que con este sistema cuento los besos entre mujeres dos veces, lo cual no se comenta en el problema. Por tanto, el sistema de cálculo sería realmente 5*(4 + 3) + 3*2 = 35 + 6 = 41.

Ahora bien, en el problema planteado tenemos otras cifras, un total de 35 abrazos y 42 besos. Puesto que el producto de las dos cantidades de hombres ha de dar 35, dejando de lado (de momento) casos triviales, concluimos en que en una familia hay 5 hombres y en la otra 7. Supongamos que x es el número de mujeres de la familia de 5 hombres, y que y es el número de mujeres de la familia de 7 hombres. En ese caso, x*(7 + y) + y*(5 + x) = 42.

Corrección: Siguiendo con la fórmula alternativa (y correcta), la fórmula sería x*(7 + y) + y*5 = 42.

Podemos ir probando valores hasta dar con x e y válidos, pero no sabríamos por dónde empezar o cuándo parar. Un buen sistema para dirigir el tanteo es tratar de despejar una de las dos variables en función de la otra, si es posible, y estudiar la función resultante.

En nuestro caso, para despejar x, tomamos 7x + 5y + 2xy = 42 y sacamos factor común la x, quedando x*(7 + 2y) = 42 - 5y. Dividiendo, x = (42 - 5y)/(7 + 2y). Puesto que la y es entero, nunca se anula 7 + 2y.

Corrección: Despejar es similar, sólo que ahora queda x = (42 - 5y)/(7 + y)

También podríamos despejar la y de una manera similar, quedando de 7x + 5y + 2xy = 42, el resultado y*(5 + 2x) = 42 - 7x, de forma que y = (42 - 7x)/(5 + 2x). Tampoco puede anularse el denominador, y además, puesto que 42 es múltiplo de 7, resulta que y = 7*(6 - x)/(5 + 2x).

Corrección: De la misma forma, y = 7*(6 - x)/(5 + x), realmente.

En estos casos, sobre todo si las funciones son más sencillas, podemos tener la tentación de usar ambas igualdades como si fuesen un sistema de ecuaciones. No lo hagáis. Si proceden de la misma igualdad, al usarlas combinadas os proporcionarán, en el mejor de los casos, una identidad (del tipo 3 = 3). Tener dos ecuaciones, en este caso, nos permite sólo escoger la más sencilla.

En este caso, es evidente que la segunda es más informativa. Está claro que si la división debe ser exacta, 5 + 2x debe ser 7, ya que si no fuese múltiplo de 7, debe dividir a 6 - x, que siempre es menor que 6. Y no puede ser mayor que 7, porque para eso 2x debería ser mayor que 6, y entonces 6 - x sería negativo (y, claro, y también lo sería).

Luego x vale 1, e y vale 5. De esta forma, las familias están compuestas por 1 mujer y 5 hombres, y la otra está compuesta por 5 mujeres y 7 hombres. Así, los abrazos serían 7*5 = 35, y los besos serían 5*6 + 1*12 = 42.

Corrección: Debemos rehacer todo el razonamiento con las nuevas expresiones, ya que aunque el razonamiento de que el denominador (5 + x) es múltiplo de 7 es correcto, ahora x debe ser 2, y la y debe valer 4. Los abrazos serían 7*5 = 35, y los besos 2*11 + 4*5 = 42.

¿Y las soluciones triviales? Podría darse el caso en el que obtuviésemos 35 multiplicando 1*35, es decir, que hubiese 35 hombres en una familia y sólo 1 en la otra. En ese caso, la ecuación se podría representar como x*(y + 35) + y*(x + 1) = 42. Repitiendo el razonamiento seguido anteriormente, obtenemos que y = 7*(6 - 5x)/(1 + 2x), que sólo admite la solución x = 0, es decir, que una familia estuviese formada por un único hombre y la otra tuviese 42 mujeres y 35 hombres, cosa que contrasta con el enunciado, que afirma que ambas familias son numerosas.

Corrección: De nuevo, en las soluciones triviales tenemos que aplicar la fórmula correcta, y tendríamos x*(y + 35) + y*x = 42, de donde y = 7*(6 - 5x)/(1 + x). De nuevo, sólo puede ser x = 0, así que no hay más soluciones.