domingo, 24 de junio de 2007

Primos con cifras repetidas

Enunciado

Este problema es un poco atípico. Averiguar todos los primos de dos, tres, cuatro, cinco y seis cifras es muy pesado, y luego, hay que obtener aquellos que tienen cifras repetidas. No. Se trata de darle la vuelta a la pregunta. ¿Cuantos números que tengan las cifras repetidas son primos? Así, resulta mucho más claro.

Empecemos por la primera pregunta. Hay 9 números que tienen las cifras iguales, de dos cifras, 11, 22, 33 ... 99. Evidentemente, sólo puede ser primo el 11, ya que todos los demás son múltiplos de 11 (por ejemplo, 77 = 7*11). Sucede lo mismo con los números de más de 2 cifras, de forma que la respuesta que podemos dar hasta ahora es que, como mucho, hay un primo de cada clase, con las cifras repetidas, es decir 11, 111, 1111, 11111 y 111111.

Pero ¿son primos? 11 sí, ya lo conocéis. No es divisible por 2 ni por 3, y no puede tener un factor mayor, porque 5*5 ya es mayor, da 25.

¿Y 111? Sus cifras suman 3, y ya sabéis qué les pasa a los números cuyas cifras suman 3 ¿no? Pues claro, 111 = 3*37.

De la misma forma, 111111 no es primo, ya que es 3*37037.

Aplicando otras reglas sencillas de divisibilidad, podemos observar que 1111 es divisible por 11 (sus cifras pares suman lo mismo que las impares), de hecho 1111=11*101.

Nos queda la única duda seria, 11111. Podéis ir probando con él todas las reglas que conozcáis, que seguro que no obtenéis nada. Hay que armarse de paciencia y emplear el único método seguro. Tratar de dividirlo entre primos cada vez más grandes, hasta que encontremos una descomposición, o lleguemos a su raíz cuadrada (cuando la pasemos, como en el caso de 5 y 11, ya sabremos que es primo).

Así, dividiremos infructuosamente 11111 entre 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41 ...

Pero, al llegar a 41, hay una sorpresa aguardándonos. 11111 = 41*271. Luego no es primo. Menos mal, porque habríamos tenido que seguir dividiendo hasta el 105.

Entre los que nos preguntan, por tanto, sólo hay un verdadero primo, el 11.