La fábrica de bicicletas

Enunciado

Si produce 300 y las vende todas a 600 euros cada una, lo que obtiene son 180000 euros en total. Si aumenta en 7 euros el precio de venta, hasta un total de 607 euros, venderá 3 menos, es decir, 297, según el enunciado del problema, lo que le permitirá obtener 297*607 = 180279 (y tres bicicletas en el almacén, que no cuentan para nuestros cálculos). Es decir, que es evidente que le convendría aumentar el precio de venta.

¿En qué momento se alcanzan los mayores beneficios? Una buena forma de abordar el problema consiste en estudiar cómo va aumentando el resultado, hasta que el aumento se vuelva negativo, es decir, disminuye.

Como nos dicen que hay que ir aumentando de 7 en 7 (no vamos a entrar en cantidades más pequeñas, aunque podríamos hacerlo, jugando con fracciones), representemos el aumento de precio por bicicleta como 7n, con n un valor entero. Así, cada bicicleta costará 600 + 7n.

Como vendemos 300 bicicletas y por cada 7 euros que aumentemos el precio dejamos de vender 3, si cobramos por ellas 600 + 7n, venderemos 300 - 3n. La cantidad total recaudada será entonces (600 + 7n)(300 - 3n) = 180000 + 2100n - 1800n - 21n² = 180000 + 300n - 21n².

Se puede comprobar que esto coincide con el valor anterior (180279) para n = 1.

Podríamos ir dándole valores a n hasta obtener el mayor valor posible, pero sería una gran pérdida de tiempo. ¿Qué pasa cada vez que aumentamos n? Que cambiamos n por n + 1 en la fórmula. Podemos comprobar cuál es la diferencia entre el resultado que corresponde a n y el que corresponde a n + 1. Si este resultado es negativo, es que habremos llegado al más alto valor posible, pues el dinero total disminuye en vez de aumentar.

Ya hemos visto que para n recaudamos 180000 + 300n - 21n². Si cambiamos n por n + 1, n² es substituido por (n + 1)² = n² + 2n + 1 (desarrollo del cuadrado de la suma). Por tanto, con n + 1 aumentos, recaudaremos 180000 + 300n + 300 - 21 - 21*2*n - 21*n² = 180279 + 258n - 21n².

Para comparar estas dos fórmulas, puesto que son sumas, conviene restarlas (si hubiesen sido productos, podríamos haberlos dividido). Como hay una parte muy similar, la diferencia entre ambas se simplifica bastante. Así, (180279 + 258n - 21n²) - (180000 + 300n - 21n²) = 279 - 42n.

Es decir, que el valor recaudado aumentará siempre y cuando 279 - 42n sea positivo, es decir, que 279 - 42n > 0. Eso significa que 279 > 42n, es decir que aumentará siempre y cuando n < 279/42, que vale aproximadamente 6. Para valores superiores a éste, no conviene aumentar el precio, porque ganaremos menos. Así, el último valr en el que ganamos es cuando subimos del valor 6 de n a 7, y mayores aumentos no suponen beneficio.

El valor al que debemos vender nuestras bicicletas es de 649 euros, y venderemos un total de 279, ganando 649*279 = 181071.

Para conseguir más precisión podríamos haber usado fracciones y aumentar de euro en euro, pero el resultado habría sido menos claro.