Doblando un cuadrado

Enunciado

En realidad, este enunciado se puede probar que es cierto para cualquier distancia DE. Si se ha tomado valores concretos, es para facilitar las expresiones, ya que formaba parte de una prueba contra reloj.

La clave en este problema es marcar adecuadamente los ángulos rectos y los ángulos que son iguales, y aplicar el teorema de pitágoras y semejanzas.

Nombrando puntos

Pongamos nombre a los puntos más importantes. En la figura adjunta, observamos que hemos utilizado las letras F, G, H e I para marcar vértices de triángulos que se aprecian en la figura. También he marcado con un punto rojo donde debe haber un ángulo recto.

Necesitamos tener medidas para empezar a comparar. Sabemos que DE mide 1. Como AF y FE miden lo mismo, y FD + AF mide 3, y entre las tres medidas (DE, FE y FD) forman un triángulo rectángulo, podemos crear una ecuación que lo exprese: 1² + (3 - FE)² = FE². Deduciendo a partir de la ecuación anterior, llegamos a 1 + 9 - 6FE = 0, por lo que FE = 10/6 = 5/3, y FD mide, por tanto, 3 - 5/3 = 4/3.

Si nos fijamos en los ángulos que se forman en E, FEH es recto, por lo que DEF y HEC suman otro recto, es decir, son complementarios. como el ángulo CHE también es complementario de HEC, concluimos que CHE es igual a DEF, y por eso DEF y ECH son triángulos semejantes. Sabiendo que EC + DE suman 3, tenemos que EC mide 2, y por la proporcionalidad, HC = 1*2/(4/3) = 3/2, y EH = 2*(5/3)/(4/3) = (2*3*5)/(4*3) = 5/2.

Evidentemente, GHI es igual, como ángulo, a EHC, por lo que GHI también es semejante. Como HI + EH = 3, y EH = 5/2, llegamos a HI = 1/2, por lo que GI = (4/3)*(1/2)/1 = 2/3 y GH = (5/3)*(1/2)/1 = 5/6.

Ahora, podemos comprobar tranquilamente el enunciado. El triángulo mayor es ECH, cuyo perímetro es 2 + 3/2 + 5/2 = 6, la mitad del perímetro del cuadrado, 3*4, y la suma de los otros dos es 1 + 5/3 + 4/3 + 1/2 + 2/3 + 5/6 = (6 + 10 + 8 + 3 + 4 + 5)/6 = 36/6 = 6.

La única dificultad de la generalización se da en que todo debe depender de la distancia entre D y E, que es variable. Pero se fundamenta en las mismas ideas.