jueves, 5 de julio de 2007

Tres círculos y un rectángulo

Enunciado

Nuevos radios

Nuevos radios

La clave, como en tantos otros problemas de geometría plana, está en trazar las líneas adecuadas. En particular, estas líneas suelen ser radios de circunferencias, o bien diagonales de rectángulos. En este caso, resultan ser ambas cosas.

Si buscamos los radios de las circunferencias que unen los centros con los puntos de tangencia, obtenemos la figura que representamos junto a estas líneas. Aparentemente, forman una única línea recta, pero ¿es recta de verdad, o se trata de una ilusión óptica?

Si nos fijamos en el lugar en el que coinciden los radios de una y otra circunferencia, observaremos que ambos son perpendiculares a la tangente común, por lo que de verdad forman 180 grados, es decir, forman parte de una misma línea. Y en el centro, dada la simetría del dibujo, también forman un ángulo de 180 grados, con lo que la suma de esos cuatro radios forma la diagonal del rectángulo.

Hablemos ahora de medidas. Como los radios de las circunferencias grandes valen 1, y el de la pequeña exactamente la mitad (recuerda que es tangente a los lados superior e inferior del rectángulo), concluimos que la longitud total de la diagonal es 3.

Ahora bien, por el teorema de pitágoras, sabemos que la longitud del lado largo del rectángulo, al cuadrado más 1 (longitud del corto al cuadrado), debe sumar 9 (longitud de la diagonal al cuadrado). Por tanto, el lado largo debe valer raíz cuadrada de 8, o, lo que es lo mismo, el doble de raíz cuadrada de 2. Su valor es, aproximadamente, 2,828427125.