Factura incompleta

Enunciado

Evidentemente, este problema se debe hacer usando ecuaciones. La primera factura se traduce en la ecuación que llamaremos F1, 8A + B + 3C + 3D = 350. La segunda factura, la ecuación F2, que es 5A + 2B + 2C + D = 250. Y la última factura, nos proporciona F3, que es 3A + 3B + C + 2D = 220.

Evidentemente, son cuatro las incógnitas, y sólo tres relaciones (ecuaciones). Eso significa que es probable que no consigamos calcular el valor de todas las incógnitas, pero que sí conseguiremos bastante información.

Lo primero que nos piden es el valor de B, el precio de los "bartofones". Podemos multiplicar la segunda factura por 3, y obtendremos 15A + 6B + 6C + 3D = 750, si a esto restamos ordenadamente los elementos de la primera, obtendremos que 7A + 5B + 3C = 400, en la que falta la incógnita D.

Por otra parte, si multiplicamos la segunda por 2, tenemos que 10A + 4B + 4C + 2D = 500, y si le restamos ahora la tercera, obtenemos que 7A + B + 3C = 280, una ecuación distinta en la que también falta la incógnita D.

Restando de nuevo, ordenadamente las dos ecuaciones obtenidas en las que falta D (ya que observamos un evidente parecido entre los coeficientes de las dos incógnitas A y C), Obtenemos que 4B = 120, es decir, que B = 30. Cada bartofón vale, por tanto, 30 euros.

Ahora, en las ecuaciones iniciales, podemos eliminar la incógnita B (y una de las ecuaciones, ya que la información que proporciona será redundante, si no lo haces, trabajarás más y no obtendrás nada nuevo). Queda así, eliminando la primera ecuación y la B de las otras dos, 5A + 2C + D = 190 y 3A + C + 2D = 130. Ahora, debemos decir cuánto valdrá A aproximadamente. Para esto, por ejemplo, podemos calcular C y D, suponiendo que sabemos cuánto vale A. Después razonaremos sobre esos cálculos.

Si tomamos la segunda ecuación y la multiplicamos por 2, tenemos 6A + 2C + 4D = 260. Al restarle la primera, sale que A + 3D = 70, es decir, que 3D = 70 - A. o D = (70 - A)/3.

Si tomamos la primera, multiplicada por 2, 10A + 4C + 2D = 380, y le restamos la segunda, tenemos que 7A + 3C = 250, es decir, que 3C = 250 - 7A, o que C = (250 - 7A)/3.

Ahora bien, como tanto D como C deben ser positivos, A debe ser menor que 250/7, es decir, que tiene un valor máximo de 35,71 euros. En ese caso, C vale 0,01 euros y D, 11,43 euros. En cuanto al valor mínimo, no hay problema en que A valga 0,01 euros, ya que en ese caso D vale 23,33 euros y C vale 83,31 euros. Puedes comprobar que en cualquiera de los dos casos se cumplen todas las ecuaciones, y que si A vale un céntimo más que el máximo, C debe ser negativo.