Aumentando las raíces

Enunciado

Una primera solución se puede obtener estudiando la relación entre coeficientes y raíces (ceros) de un polinomio o una ecuación polinómica. La idea, que ya hemos usado en otros problemas, consiste en que un polinomio p(x) de segundo grado que tiene dos raíces se puede factorizar (convertir en un producto) de la forma t(x - r)(x - s), donde r y s son las raíces y t el coeficiente del término de mayor grado. Si nos fijamos en que el coeficiente t (que en este caso es el de segundo grado) es uno, en este caso, los términos a y b valen -(r + s) y r*s respectivamente, cosa que se puede entender desarrollando el producto e igualando término a término.

Bueno, en este caso, si a = -(r + s), el nuevo término de la x en la nueva ecuación, c, valdría -(r + 1 + s + 1), ya que las nuevas raíces valen una unidad más. Por eso, c = -(r + s + 2) = -(r + s) - 2 = a - 2. Por otra parte, d = (r + 1)(s + 1) = r*s + r + s + 1 = b - a + 1.

Es decir, que si tenemos una ecuación como x² + 6x - 7 = 0, cuyas raíces son 1 y -7, calculando que 6 - 2 = 4 y que -7 - 6 + 1 = -12, la ecuación x² + 4x - 12 = 0 tendrá las raíces 2 y -6, cosa que podemos comprobar, por ejemplo, substituyendo estos valores.

Ahora bien, un comentario en el enunciado anima a tratar otro método, algo más abstracto. Supongamos que tenemos un polinomio p(x) de segundo grado que se anula en dos raíces r y s (es decir, p(s) = 0 y p(r) = 0). Buscamos otro polinomio q(x) de segundo grado que se anule en r + 1 y s + 1, y que su primer coeficiente (el de mayor grado) sea 1. A partir de p(x) podemos obtener uno, ya que si consideramos el polinomio q(x) = p(x - 1) podemos comprobar que q(r + 1) = p(r + 1 - 1) = p(r) = 0 y q(s + 1) = p(s + 1 - 1) = p(s) = 0. Luego q(x) se anula en r + 1 y s + 1, que es la condición pedida. Podríamos, además, razonar que es único (si alguien quiere que me extienda en esto, que escriba un comentario).

El caso es que el polinomio buscado, si p(x) = x² + ax + b, sería q(x) = (x - 1)² + a(x - 1) + b = x² - 2x + 1 + ax - a + b = x² + (a - 2)x + b - a + 1, es decir, que, como en la anterior solución, c = a - 2 y d = b - a + 1.