Frutas en la balanza

Enunciado

Evidentemente, se trata de ecuaciones. En este nivel (primer ciclo de ESO) probablemente se puedan abordar todos los problemas sin usar ecuaciones, pero ahorran bastante tiempo, si se conocen bien.

Para abreviar, aquí se nos dice que cinco manzanas y un melón pesan lo mismo que 8 naranjas, y que tres manzanas y cinco melones pesan lo mismo que veinte naranjas.

En la otra balanza, quedan tres manzanas en un plato y una naranja en el otro. Falta por añadir los melones ¿no?

Una de las formas más intuitivas es combinar "sumando" y "restando" cantidades como las conocidas, hasta obtener tres manzanas en un lado, y una naranja en el otro.

Fíjate que en una de las balanzas hay cinco manzanas, y en la otra, tres. Ya tenemos tres manzanas en un plato, pero salen veinte naranjas en el otro.

También podríamos repetir tres veces el primero (quince manzanas) y quitarle cuatro veces el segundo (doce manzanas). Tendríamos en el otro plato 24 naranjas menos 60, que sale negativo. Eso no interesa.

Veamos cómo podemos combinar la información que tenemos, fijándonos sólo en manzanas y naranjas, de forma que nos queden naranjas en el otro lado. El doble de la segunda balanza, menos la primera, dejaría una manzana en un lado, y 32 naranjas en el otro. El triple de la segunda, menos la primera, cuatro manzanas y 52 naranjas (demasiadas). También podemos poner el triple de la primera combinación, menos la segunda, que daría 12 manzanas y 4 naranjas al otro lado.

Y podríamos hacer muchas otras combinaciones, pero vamos a fijarnos en esta última. Doce manzanas en un lado, y 4 naranjas en el otro. No podremos conseguir de ninguna forma menos naranjas, puesto que 20 y 8 son múltiplos de 4, y por mucho que nos esforcemos, siempre dará un múltiplo de 4. Pero 12 y 4 es casi lo que queremos. Es cuatro veces nuestro objetivo (el cuádruplo de tres, y de uno).

¿Cuántos melones acompañan a estas 12 manzanas y cuatro naranjas? La primera combinación tiene un melón en el plato de las manzanas, su triple es 3 melones. La segunda combinación tiene cinco melones. Restarlo daría menos dos melones. Y eso no sirve ¿o sí? Bueno, podemos compensar menos dos melones poniendo dos melones en el plato contrario. Es decir, que doce manzanas pesan lo mismo que dos melones y cuatro naranjas. Casi lo tenemos. Si partimos todo en cuatro trozos, seguiremos teniendo equilibrio. Así, tres manzanas equivalen a una naranja más ¡medio melón!

La solución con ecuaciones sería de la siguiente forma. De la primera equivalencia, se tiene que 5m + 1 = 8n. De la segunda, 3m + 5 = 20n. Nuestra incógnita es 3m = 1n + z, donde z sería el número de melones (fíjate que la unidad en la que medimos es el peso de un melón). La ponemos en uno de los platos, pero si sale negativa, irá en el otro como positiva.

Despejando en la primera ecuación, m = 8n/5 - 1/5. Substituir en la segunda, daría 24n/5 - 3/5 + 5 = 20n. Multiplicando por 5, para quitar denominadores, 24n - 3 + 25 = 100n, es decir, 22 = 76n. Por eso, n = 11/38 y m = 88/190 - 1/5 = 44/85 - 19/85 = 25/85 = 5/19. Por tanto, z = 3m - 1n = 15/19 - 11/38 = 30/38 - 11/38 = 19/38 = 1/2. Efectivamente, hay que añadir medio melón a la naranja para equilibrar las tres manzanas.