Lío de lámparas en una habitación

Enunciado

La clave para entender la solución a este problema consiste en comprender, mediante el ensayo con pocas lámparas (a partir de 4, porque con menos en ocasiones no es posible), que cada lámpara que coloquemos en una esquina de la habitación se cuenta dos veces, una en cada pared de la esquina, de forma que en realidad esa lámpara cuenta como dos a la hora de repartirla entre las paredes. Veremos todas las posibilidades a medida que vayamos solucionando los apartados.

12 lamparas

En el apartado (a) tenemos 12 lámparas. Evidentemente, podemos dividirlas entre 4 y obtenemos 3, con lo que si ponemos tres en cada pared conseguimos el resultado que nos piden. Recuerda que no es necesario situar ninguna en una esquina. Si queremos situar alguna, pronto descubriremos que no es posible repartirlas hasta que pongamos cuatro, una en cada esquina. En ese caso, como cada lámpara contará por dos en la suma total (recuerda que se cuenta en las dos paredes), será como si tuviésemos 16, y las repartiremos poniendo las de las esquinas y dos más en cada pared, es decir, cuatro por pared (ver los dibujos). Si sólo ponemos 1, 2 o 3 lámparas en las esquinas, será como si tuviésemos 13, 14 o 15, y es imposible repartirlas entre cuatro paredes de forma entera.

10 lámparas

Resolvamos ahora el apartado (b). Puesto que disponemos de 10 lámparas, no podemos repartirlas entre 4, pues no es divisible. Deberemos poner dos lámparas en las esquinas, para obtener dos lámparas más, es decir, 12, y poder poner 3 en cada pared. Hay dos formas de colocarlas, en dos esquinas consecutivas y en dos opuestas. Si las ponemos en dos opuestas, hemos de situar dos de las ocho lámparas restantes en cada pared, para lograr las tres por pared. Si las esquinas son contiguas, sólo hay que poner una lámpara en la pared compartida por las esquinas, tres en la opuesta, y dos en las restantes (ver imagen).

11 y 13 lamparas

En el apartado (c) se complica la cosa, pues tenemos números impares. En el caso de tener 11 lámparas, sólo nos falta una para tener un múltiplo de 4 (12), por lo que basta situar una lámpara en una esquina. Las otras 10 deberemos distribuirlas de forma que completemos las 3 por pared, es decir, 2 en las paredes que tienen la esquina ocupada, y 3 en las dos restantes (2 + 2 + 3 + 3 = 10). Si disponemos de 13 lámparas, nos faltan 3 para un múltiplo de 4 (16), y acabaremos con 4 lámparas por pared. Es decir, ponemos 3 lámparas en las esquinas, con lo que sólo quedará una esquina sin lámpara, y las 10 restantes las pondremos de manera que lleguemos a 4 lámparas por pared, es decir, 3 en las paredes que tienen una esquina vacía, y 2 en las que no (2 + 2 + 3 + 3 = 10).

De 20 a 23 lámparas

En el apartado (d) tratamos de repetir otra serie de casos, con 20, 21, 22 y 23 lámparas. Con 20, basta repartirlas a razón de 5 por pared, o bien cuatro en las esquinas y cuatro por pared. Con 21, debemos poner 3 en las esquinas y repartir 18 de forma que pongamos 4 en las paredes que tengan las dos esquinas ocupadas, y 5 en las que tengan una esquina libre (2*4 + 2*5 = 18), es decir, 6 por pared. Si disponemos de 22, situamos dos en las esquinas (la forma más sencilla, en esquinas opuestas), y las restantes 20 repartidas entre las cuatro paredes (aunque como vimos, hay otra forma de hacerlo). Por último, si tenemos 23 lámparas, situaremos una en una esquina, y las 22 restantes de forma que las paredes con una esquina ocupada tengan 5, y las que tienen vacías las esquinas, 6 (2*6 + 2*5 = 22).

caso general

En el apartado (e) se trata de generalizar, es decir, de dar un método o receta para repartir cualquier cantidad de lámparas. Como hemos visto, la forma de distribuirlas dependerá de que sea múltiplo o no de cuatro, y en ese último caso, de cuánto le falte para ser múltiplo de cuatro (puede que le falte una, dos o tres lámparas). Si el número de lámparas es múltiplo de cuatro, bastará repartirlas por las cuatro paredes. Si falta un única lámpara para ser múltiplo de 4, pondremos una en una esquina, y pondremos en las paredes junto a esa esquina una lámpara menos que en las demás. Si son 2 las que faltan, pondremos dos lámparas en esquinas opuestas, y repartiremos las demás entre las cuatro paredes. Si faltan 3 para ser múltiplo de 4, ocuparemos tres esquinas y pondremos una lámpara menos en las paredes que tienen dos esquinas ocupadas que en las que tienen una libre, para compensar.