Rectángulo

Enunciado

El ejercicio (a) es bastante sencillo, si piensas en lo que sucede. En realidad, pasas por 6 puntos distintos y vuelves a empezar, es decir, que todos los múltiplos de 6 volverás a caer en la misma letra. Voy a citar todas las letras, acompañadas por el número de letras que llevas visitadas cuando llegas a ella: A1 B2 C3 F4 E5 D6 A7 B8 C9 F10 E11 D12 A13... Como verás, entre una visita a una letra y la siguiente pasan exactamente 6 números, es decir, que cada múltiplo de 6 pasaremos por D. Si dividimos 2008 entre 6, obtenemos 334 y resto 4, es decir, que 2004 es 334*6, y cuando llevemos 2004 letras recorridas estaremos en nuestra visita número 334 a la D. Cuatro letras más tarde, en la letra 2008, estaremos en la F (fíjate que F lleva el número 4, que es el resto de la división).

En el ejercicio (b) hay que cambiar un poco de mentalidad. Si en el anterior recorríamos letras (también llamados nodos), aquí recorremos todos los segmentos, o al menos eso intentamos. Hay 11 segmentos en la figura, y sí hay un recorrido muy sencillo que empieza por A y pasa por todos. De hecho, hay varios, y es casi imposible no encontrar uno si empezamos a recorrerlos. Por ejemplo, uno sería A-B, B-E, E-A, A-D, D-E, E-F, F-D, D-C, C-F, F-B, B-C.

Lo único que tendrán en común todos los caminos que empiecen en A es que acabarán en C. ¿Por qué? Pues porque cada vez que pasamos por una letra, usamos un segmento para llegar y otro para irnos, y no podemos volver a usarlos. Eso quiere decir que cuando pasamos por una letra varias veces, iremos sumando segmentos que empiezan o acaban, de dos en dos. La única excepción (si acaso) es la letra por la que empezamos, que puede tener una cantidad impar de segmentos, como es el caso de la A, y la que acabamos. Pero sólo la C tiene una cantidad impar de segmentos que llegan o salen de ella, por lo que no tenemos más remedio que acabar allí.

Por eso no podemos empezar ningún recorrido de este tipo por B, ya que habría dos letras candidatas para acabar, la A o la C, y uno de los caminos que llevan a ellas se queda sin recorrer, además de dejar sin recorrer uno de los que llegan a B. Éstas son las dificultades que nos encontramos.

La pregunta (c) es de geometría. ¿Cómo podemos calcular el área de un triángulo, si sólo conocemos la fórmula que nos indica que su área es base por altura partida por dos? Bueno, podemos calcular el área de todo el rectángulo, 12*9 = 108 metros cuadrados. Incluso, podríamos calcular el área de la mitad del rectángulo, que podría ser el triángulo ABC, que mediría 108/2 = 54 metros cuadrados.

Una vez que llegamos aquí ¿qué relación hay entre ABC y BEF? Desde luego, si consideramos las posiciones en las que podemos poner ambos triángulos para medir base y altura, veremos que hay una posición en la que tienen mucho en común. Si usamos la base AC para medir la base y la altura de ABC, y EF para medir la de BEF, podemos darnos cuenta rápidamente de que tienen la misma altura, y que EF es la tercera parte de AC. Es decir, que para sacar el área de BEF multiplicaremos algo que es la tercera parte de la base de ABC por la misma altura (y dividiremos entre dos, claro), y obtendremos una tercera parte del área de ABC, es decir, 54/3 = 18 metros cuadrados.

Otra manera de verlo, es que ABC es la suma de las áreas de AEB, BEF y BFC, y los tres tienen (mirados apoyados en la diagonal) la misma longitud de la base y la misma altura, por lo que tienen la misma área, que será un tercio del área de ABC.

Completando dibujo

Por último, en (d) tenemos que completar un poco el dibujo. Si nos damos cuenta de que hemos dividido en 3 partes iguales las dos diagonales, y levantamos perpendiculares hasta los lados del rectángulo, tendremos el rectángulo original dividido en nueve rectángulos iguales, es decir, que el área del pequeño rectángulo es un noveno del original, 108/9 = 12 metros cuadrados. Sus longitudes son 4 y 3.