domingo, 26 de octubre de 2008

Con la suma y el MCM

Enunciado

El caso es que, si tenemos la suma de dos números y su MCM ¿Cómo podríamos recuperar los números? Después de probar con un par de ejemplos, cosa que es muy interesante para fijar ideas, supongamos que a y b son los números, k es el MCD, y r y s son los números tales que a = k*r y b = k*s. Es fácil ver que r y s no tienen ningún factor común, es decir, que el MCM de a y b es k*r*s. Además, en la suma a + b = k*(r + s), tenemos que r + s no tiene ningún factor en común con r ni con s.

Ahora, si buscamos el máximo factor común del MCM y la suma, obtendremos el MCD. Dividiendo por él ambos números, tendremos r*s y r + s, que nos permitirán rápidamente, mediante un sistema de ecuaciones de segundo grado, hallar r y s, y por tanto a y b.

Encontrar el máximo divisor común se puede hacer de dos formas: descomponiendo, lo que a veces puede ser pesado si el número tiene factores primos altos, o bien por el sistema del resto, hallando sucesivamente los restos.

En el caso que nos piden, los números tienen factores primos bastante altos, así que lo vamos a intentar con el sistema de los restos.

El primer paso consiste en hallar el máximo divisor común entre 3972 y 985928. Al dividir el mayor por el menor, el resto es 872, que es mútiplo del MCD. Si dividimos ahora al 3972 entre 872, el resto es 484. De nuevo, el resto de 872 entre 484 es 388 y el resto de 484 entre 388 es 96. El resto de 388 entre 96 es 4, y el resto de 96 entre 4 es 0, por lo que 4 es el MCD de ambos números.

Ahora sabemos que 985928/4 = 246482 y que 3972/4 = 993. Éstos números serán, respectivamente, la suma y el producto de r y s, luego r = 993 - s, por lo que s(993 - s) = 246482, por lo que 0 = 246482 - 993s + s2. De aquí, s = (993 + √(9932 - 4*246482))/2. La otra raíz da lugar, en realidad, al mismo par de soluciones, sólo que nos aporta lo que aquí llamamos t. Operando, obtenemos que s = 502 y t = 491.

Por tanto, los números que buscamos son a = 4*502 = 2008 y 4*491 = 1964. Si hubiésemos probado a factorizar, hay que tener cuidado, porque 491 es primo y 502 tiene un primo también muy grande, el 251, y seguramente no habría sido fácil (al menos sin la ayuda de un ordenador).

Respecto al MCM y el MCD hay una propiedad que es muy interesante, y que se puede descubrir si estudiamos cómo calculamos ambos números a partir de dos valores. Si tenemos dos números, a y b, los descomponemos en primos. Si uno de los factores primos está sólo en uno de los dos números, lo metemos en el MCM, y si está en ambos, elevado a dos potencias, la mayor va a parar al MCM y la menor al MCD (observa que si son iguales, repetimos el factor en ambos cálculos). El caso es que observes que el producto de ambos es igual al producto del MCD por el MCM, y eso es una propiedad que nos puede servir en otra ocasión.

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