El problema internacional

Enunciado

Como problema de Olimpiada Internacional, es un problema difícil, aunque no demasiado, pues ocupa la primera posición. Las ideas necesarias son sencillas, si bien costaría mucho tejer todo el proceso si no conocemos algunos resultados previos.

Representación del problema

Está claro que los seis puntos que se citan en el enunciado, que están en los lados, equidistan dos a dos de los puntos centrales de los lados, por lo que las circunferencias que pasan por estos pares de números están situadas sobre las mediatrices de los lados. En el dibujo que acompaña a estas líneas podemos ver dibujados los puntos, y la gran cantidad de lineas que los rodean.

Esto significa que, si es verdad lo que pide el problema (y nos están pidiendo que lo demostremos), el centro de la circunferencia que pasa por los seis puntos estará donde se cortan las mediatrices, en el circuncentro.

De esta forma, el problema se simplifica un poco (aún queda bastante por hacer). La idea, en todo caso, es probar que la distancia entre uno de los puntos y el centro no depende del lado en el que nos situemos (es decir, depende de valores fijos del triángulo, como la distancia entre el ortocentro y el circuncentro, o el radio de la circunferencia circunscrita), o bien que dados dos lados y puntos de esos 6 situados en ellos, la distancia de ambos al circuncentro es la misma.

En cualquier caso, quedaría probado el enunciado, ya que evidentemente, por la equidistancia al centro, los que están en el mismo lado lo cumplen, y los del tercer lado se demostraría su pertenencia al círculo cambiando el nombre de los lados.

Voy a calcular la distancia de uno de esos puntos al circuncentro. Si consigo que me quede independiente del lado o que cambiando un lado por otro se obtenga el mismo resultado, ya estará.

Trazando paralelas

He simplificado mucho el dibujo, para poder observar sólo lo importante. He marcado los puntos O, circuncentro, y H, ortocentro. El objetivo es calcular la distancia entre A₁ y O, por ejemplo. Como O forma un triángulo rectángulo con A₁ y A₀, que es el punto medio, tenemos que (A₁O)² = (A₁A₀)² + (A₀O)². Además, como A₁A₀ es un radio de la circunferencia que ha creado el punto A₁, esta distancia coincide con A₀H. Por tanto, (A₁O)² = (A₀H)² + (A₀O)².

Como B₀ es el punto medio de AC, si trazo paralelas por B₀ a las alturas de A y C, puedo descubrir que coincide el punto de corte de la paralela a la altura de A con el punto medio de CH, por semejanza. De la misma forma, la linea que une este punto a A₀ sería paralela a la altura de B, o a OB₀. Por eso, esos cuatro puntos forman un paralelogramo (OB₀PA₀), donde P es el punto medio de CH.también es sencillo ver que B₀, P, H y Q, donde Q es el punto medio de AH, forman también un paralelogramo. Y está claro que AK y KH son segmentos paralelos y de igual tamaño a A₀O.

Ahora hay un resultado que puede que no conozcas, pero es muy interesante. Si estoy en un paralelogramo, como el que forman O, A₀, H y Q, la suma del cuadrado de las diagonales es igual a la suma del cuadrado de los lados (puedes comprobarlo usando el teorema del coseno en los triángulos que contienen a una y otra diagonal, y sumando). Como hemos visto que (A₁O)² = (A₀H)² + (A₀O)² y estos son los lados de un paralelogramo, está claro que (A₁O)² = ((A₀Q)² + HO²)/2.

Ya casi está, puesto que HO es un invariante. Además, por semejanza, podemos ver que A₀Q es un segmento paralelo y del mismo tamaño a OA, que tampoco depende del lado, pues es el radio de la circunferencia circunscrita.

Con esto, el resultado está probado.

A pesar de lo complicado que pueda parecer, hay muchos métodos de llegar a la misma conclusión, usando los más variados sistemas de trabajo (trigonometría, coordenadas, complejos,...).