Fiesta de fin de carrera

Enunciado

Para resolver este problema es imprescindible conocer alguna fórmula del volumen de un cono, porque sin esas fórmulas es imposible (creo) abordarlo.

Recordemos que en las figuras piramidales, y cónicas, la fórmula del volumen es de 1/3 del área de la base por la altura. Además, en este caso, la "base" se encuentra a distintas alturas, de forma que si llenamos una copa a mitad de la altura, el área de la base será cuatro veces inferior, y por tanto en la misma copa cabrá ocho veces menos. Llenarlo a una altura de 3/4, significaría reducir su volumen en 27/64, por la misma razón.

Bueno, hace falta ver cuántas copas podemos llenar con 2 litros (2000 cm³) de cava. Cada cono de copa llena tiene una área de "base" de 6,25π cm², por lo que su volumen es 12*6,25π/3 cm³ = 25π cm³, aproximadamente 78,54 cm³.

Después de llenar 10 copas, habrá gastado 785,4 cm³. Si aparecen 30 compañeros más, y sólo les llena hasta la mitad de la copa, significa 78,54*30/8 cm³, aproximadamente 294,5 cm³ más, con lo que habrá gastado un total de 1079,9 cm³, poco más de una botella (una copa más).

Para brindar con media copa de cava los 40, hacen falta 78,54*40/8 cm³ = 392,7 cm³. Sumado a lo anterior, aún queda lejos de los 2000 cm³.

Si pusiéramos las 3/4 partes de la copa llenas (es decir, 3/4 del volumen total, que subiría más de las 3/4 partes de altura), usaríamos 78,54*40*3/4 cm³ = 2356,2 cm³, es decir, más de lo que teníamos al principio. Si hubiésemos llenado las 3/4 partes de la altura de la copa, en realidad gastaríamos 78,54*40*3*3*3/(4*4*4) cm³, aproximadamente 1325,4 cm³, y aún sobraría cava.