Una ecuación difícil

Enunciado

El primer paso que hay que dar es fácil. Si x, y y z son números reales cualesquiera, 3^x, 5^y y 7^z son números reales positivos cualesquiera diferentes, y dados tres números reales positivos que ocupen estos tres valores, utilizando logaritmos será muy fácil despejar para obtener x, y y z, de forma que podemos substituirlos por tres nuevas variables sin pérdida de generalidad y sin añadir nuevos valores. Podemos proponer, por ejemplo, que A = 3^x, B = 5^y, y C = 7^z. La ecuación quedaría √(A(B + C)) + √(B(C + A)) + √(C(A + B)) = (√2)*(A + B + C).

Como podemos ver, hay mucha simetría en la ecuación. En estos casos hay que procurar no romperla, porque suele ser la clave para su solución. Tal vez esta simetría indique que son números iguales, pero ¿cómo probarlo?

He intentado varias aproximaciones, que he abandonado debido a que aumentaban la complejidad de la ecuación, en lugar de reducirla. Lo primero que funciona es que el extraño coeficiente de uno de los lados de la igualdad, √2, se elimine dividiendo entre él. La ecuación resulta √(A(B + C)/2) + √(B(C + A)/2) + √(C(A + B)/2) = A + B + C.

Si se mira la ecuación con atención, resulta que tenemos dos tipos de promedios entremezclados. En efecto, (A + B)/2 es la media aritmética de A y B, mientras que √(ST) es la media geométrica de S y T. Puede que no lo recuerdes, pero seguro que conoces la desigualdad entre las medias aritméticas y geométricas, que es una desigualdad muy importante. Con números positivos, las medias aritméticas siempre son mayores o iguales que las geométricas, y la igualdad sólo se da cuando todos los valores son iguales. En el caso de tener dos términos, es muy fácil de comprender, ya que si tenemos dos números S y T, y R es su media aritmética, podemos escribir S como R + U y T como R - U para un cierto valor de U, de forma que la media geométrica pasa a ser √(ST) = √((R + U)(R - U)) = √(R² - U²), que es evidentemente menor que R, que es √(R²).

Pues bien, en este caso, el primer término es una suma de tres medias geométricas. Por tanto, será menor siempre que la suma de las tres medias aritméticas. Es decir, que √(A(B + C)/2) + √(B(C + A)/2) + √(C(A + B)/2) ≤ (A + (B + C)/2)/2 + (B + (C + A)/2)/2 + (C + (A + B)/2)/2 = (A + B + C + (B + C + C + A + A + B)/2)/2 = (A + B + C + (2A + 2B + 2C)/2)/2 = (A + B + C + A + B + C)/2 = A + B + C. Es decir, que la igualdad anterior sólo se da si todas las medias geométricas son iguales a sus respectivas medias aritméticas, es decir, que A = (B + C)/2, y B = (C + A)/2, y C = (A + B)/2. Basta suponer que uno de ellos es mayor que los demás, o menor, para darnos cuenta de que es imposible. Por tanto, los tres números son iguales. Todas las soluciones son de esa forma.

Tomemos entonces un parámetro, por ejemplo D, positivo, y entonces 3^x = D, 5^y = D, y 7^z= D, por lo que x = ln(D)/ln(3), y = ln(D)/ln(5), y z = ln(D)/ln(7). O también podemos tomar D = e^d, para facilitar las expresiones finales.