jueves, 15 de enero de 2009

Borrando la pizarra

Enunciado

Lo primero que tenemos que hacer es experimentar. Si, por ejemplo, hubiésemos probado con 5 números, del 1 al 5, sería fácil que el número final diese 5, operando de la siguiente manera: borramos el 1 y el 2, y ponemos 1 (la diferencia). Borramos el 3 y el 4, y ponemos otro 1. Borramos los dos 1 y ponemos 0. Por último, borramos el 5 y el 0, y ponemos 5 (el resultado).

Jugando con nuestros 2008 números, es fácil conseguir un 2008 siguiendo la misma idea. Borramos cada dos números consecutivos, desde el 2 hasta el 2007 (1003 parejas), y ponemos un 1. De esta forma, dispondremos de 1004 unos (el 1 que había al principio, y los 1003 que nos han quedado), y un 2008. Tomamos ahora 502 parejas de unos, que cambiamos por ceros. Ahora, disponemos de 502 ceros y un 2008, que usemos en el orden que usemos siempre producen un resultado final de 2008.

Se podría pensar que lograr 2007 es igual de sencillo, pero si tratamos de lograr un 4 con los números del 1 al 5, veremos que hay algo que nos lo impide. Podemos conseguir un 3, pero no un 4. Si pensamos que tampoco podemos lograr un 2, pero sí un 1, puede que nos acerquemos a la verdadera respuesta.

Efectivamente, sólo podemos obtener números impares si empezamos con los números del 1 al 5, y de la misma forma, al empezar con los números del 1 al 2008, sólo podremos acabar con números pares.

Vamos a intentar comprobarlo de manera indiscutible. Si tenemos dos números pares, o dos impares, y los cambiamos por la diferencia, la diferencia será par. Antes de cambiarlo, la suma de los dos sería par, y después, también. Si partimos de uno par y otro impar, antes de cambiarlos por su diferencia, la suma sería impar, y después, también, pues la diferencia sería impar. Por lo tanto, si al principio la suma de todos los números es par, al final, el número que quede será par, y si al principio la suma de todos es impar, al final, el número que quede, sólo podrá ser impar.

Ahora bien, los números del 1 al 2008 son 1004 pares y 1004 impares. La suma de todos los pares es par, y la de los impares, como son 1004, que es divisible entre 2, los podemos poner de dos en dos, y ver que es un número par. Por lo tanto, sólo puedo lograr un último número par.

De esta forma, vemos que es posible lograr 2008, pero no 2007 a partir de los mismos números.