Poniendo paréntesis

Enunciado

Hay varias cosas distintas que debemos observar. En primer lugar, el primer 1 no cambia si ponemos o no un paréntesis delante, ya que no tienen ningún signo. De la misma forma, tampoco podemos alterar el signo negativo de 2, aunque situemos un paréntesis delante. Los demás signos pueden variar, si ponemos el paréntesis de forma que afecte o no al término correspondiente.

La otra cosa que debemos observar es que cada término es una potencia de 2, mayor por tanto que la suma de todos los anteriores (piensa que 1 + 2 = 3 < 4, 1 + 2 + 4 < 4 + 4 = 8, etc). Por tanto, un cambio de signo producirá un valor diferente a todos los demás, porque sería imposible lograrlo usando otros términos, dado los tamaños de las diferencias.

Ahora, si sólo tuviésemos tres términos, 1 - 2 - 4, sólo podríamos obtener dos sumas distintas, -5 y 3, que se diferencian en 8. Si tenemos cuatro términos, 1 - 2 - 4 - 8, podríamos obtener dos variando el signo del 4 y, por cada una de esas, dos cambiando el de 8, es decir, 4 sumas distintas, que serían: -13, -5, 3 y 11, todos ellos diferenciados por 8. Si te estás preguntando cómo lo lograríamos, podríamos hacerlo así 1 - 2 - 4 - 8 = -13, 1 - (2 - 4) - 8 = -5, 1 - 2 - (4 - 8) = 3, y 1 - (2 - 4 - 8) = 11.

Ahora, para los 11 términos que hay en nuestro caso, tenemos que puede cambiar el signo de 9 de los 11. El primer cambio de signo produce dos sumandos, el siguiente multiplica por 2 la cantidad, y de nuevo el siguiente, de forma que los 9 cambios posibles darán 2*2*2*2*2*2*2*2*2 = 2⁹ = 512 posibles resultados.

Si te fijas bien, la diferencia entre dos de ellos consecutivos es 8, ya que el menor cambio de signo es el del 4, que pasaría de sumar a restar, y produciría una diferencia entre las dos situaciones de 8. Eso concuerda con que el menor resultado sea 1 - 2 - 2² - 2³ - 2⁴ - 2⁵ - 2⁶ - 2⁷ - 2⁸ - 2⁹ - 2¹⁰ = -2045, y el mayor sea 1 - (2 - 2² - 2³ - 2⁴ - 2⁵ - 2⁶ - 2⁷ - 2⁸ - 2⁹ - 2¹⁰) = 2043. Observa que 2043 - (-2045) = 511*8.