Potencias contra factoriales

Enunciado

En este tipo de problemas no podemos empezar a calcular los números implicados debido a su tamaño, y tampoco podemos lanzarnos a hacer demostraciones sin una experimentación previa.

Yo creo que lo mejor es empezar a probar situaciones similares con números menores, que nos permitan apreciar mejor qué relaciones se dan entre estos dos números.

Probemos 5⁹ contra 9!, que sería una situación similar. En uno de los cálculos contamos con 9 factores igual a 5, mientras que en el otro también hay 9 factores, de los que cuatro son menores, uno igual, y otros cuatro mayores. La idea clave es ¿podemos emparejar uno grande y uno pequeño, para compararlos a dos iguales del otro producto?

Efectivamente, observamos que 1*9 < 5*5, 2*8 < 5*5, 3*7 < 5*5 y 4*6 < 5*5. Así, está claro que 5⁹ es mucho mayor que 9!.

Ahora, tratemos de probarlo para los números del enunciado. La clave, puesto que en ambos productos hay 999 factores, está en comparar pares de factores con pares de factores, sólo que en este caso el factor repetido es 500. Los números que equidistan de 500 en el caso del factorial se pueden representar como 500 + a y 500 - a, y su producto es (500 - a)*(500 + a) = 500*500 - a*a < 500*500, ya que a*a siempre es positivo.

Evidentemente, emparejando 998 factores de esta forma (el factor central es 500), obtenemos la desigualdad buscada, 999! < 500⁹⁹⁹.