Cuadriláteros enteros

Enunciado

Después de dar muchas vueltas a este problema, he encontrado un camino para calcular OA a partir de los 6 números racionales citados, de forma que sea un racional. Sin embargo, no es sencillo hacerlo partiendo sólo del Teorema de Pitágoras y semejanzas básicas de triángulos, hacen falta varios resultados de trigonometría y de geometría que son conocidos por los estudiantes de bachillerato, por lo general.

En primer lugar, hace falta el conocimiento de las fórmulas de suma y resta de ángulos para el cálculo de los senos y los cosenos de los ángulos, y en segundo lugar, los resultados conocidos como teorema del coseno (una generalización del Teorema de Pitágoras para triángulos no rectángulos), y el del seno (una proporcionalidad entre lados y senos en un triángulo). Veamos cómo se usan aquí.

Cuadrilátero convexo

El primer estudio que hice fue determinar qué razones trigonométricas (y que relaciones entre las razones) puedo asegurar que sean racionales.

Si nos fijamos en un dibujo de el cuadrilátero con sus diagonales, aparecen ocho ángulos en el exterior que merece la pena estudiar, formados por una diagonal y un lado. Cada uno de ellos está en un vértice de un triángulo de lados racionales (por ejemplo, OAB es un ángulo del triángulo ABC). Eso significa, aplicando el Teorema del coseno, que el coseno de todos ellos es racional (observa que CB² = AB² + BC² -2*AB*BC*cos(OAB), por lo que cos(OAB) = (AB² + BC² - CB²)/(2*AB*BC)). De la misma forma, el cuadrado del coseno es racional, y también lo es el cuadrado del seno. Sin embargo, no podemos concluir que lo sea el seno, pues no podemos afirmar que la raíz cuadrada de un racional también lo sea.

Por la misma razón, el coseno de la suma de dos de ellos que compartan vértice, también es racional (por ejemplo, cos(OBA + OBC), que según la fórmula es igual a cos(OBA)cos(OBC) - sen(OBA)sen(OBC)). De aquí, también el producto de los senos de este tipo de ángulos también es racional.

Por otra parte, usando el Teorema del Seno, sabemos por ejemplo que AB/sen(OCB) = BC/sen(OAB), por lo que el cociente sen(OAB)/sen(OCB) sabemos que también es racional. Por eso sabemos que el cociente entre senos de ciertos ángulos también es racional.

Con todas estas observaciones, podemos intentar aproximarnos más a lo que se nos pide, que es la prueba de que OA es racional. Del Teorema del Seno se deduce que OA/sen(OBA) = AB/sen(AOB). Observa que, por sumar 180 grados, sen(AOB) = sen(COB) , que sale en otra fórmula análoga, OC/sen(OBC) = BC/sen(COB). Por tanto, dividiendo ordenadamente los términos de estas igualdades, obtenemos que (OA/OC)*(sen(OBA/sen(OBC)) = AB/BC. Observa que habíamos visto que el producto sen(OBA)*sen(OBC) es racional, pero como sen²(OBC) es racional también, sen(OBA)*sen(OBC)/sen²(OBC) = sen(OBA)/sen(OBC) también es racional. Es decir, que OA/OC es racional.

Claro, que como AC es racional, y el cociente entre sus dos partes es racional, de ahí se deduce que cualquiera de las dos lo es.