Triangulitis

Enunciado

Un hexágono dividido

Este problema parece más difícil de lo que es. En uno de estos hexágonos de lados enteros, tenemos tantos triángulos como la longitud del lado apoyados en el exterior, en cada uno de los seis lados. En los huecos, tenemos uno menos en cada lado apuntando en sentido contrario, y en el centro, un hexágono de lado una unidad menos.

De esta forma, podemos calcular las primeras cantidades de triángulos de los hexágonos más pequeños.

En el hexágono de lado 1 ya sabemos que hay 6 triángulos de lado 1. En el de lado 2, tenemos los 6 centrales más 2 + 1 = 3 en cada lado, es decir, 3*6 = 18 más, hasta 24.

En el de lado 3, tendríamos 24 más (3 + 2)*6 = 30 más, es decir, 54.

Si hemos visto sucesiones, descubriremos que se trata de una sucesión que cumple que la diferencia entre el término n y el anterior es 6*(n + n - 1) = 12n - 6.

Eso quiere decir que la sucesión tiene un término cuya fórmula es un polinomio de segundo grado, pues la diferencia entre un término y el siguiente es de primer grado.

Calcular de qué polinomio se trata se puede hacer por medio de un sistema (sabemos que es un polinomio de la forma an² + bn + c, y conocemos el valor para 1, 2 y 3 (6, 24 y 54). También podemos tantear un poco con las fórmulas, si tenemos práctica. Obtendremos que es exactamente 6*n².

Así, comprobaremos que el caso en que n sea 4, el valor es 6*16 = 96, o, lo que es lo mismo, 54 + 6*(4 + 3) = 54 + 42 = 96.

Buscamos el primer valor que cumple que 6*n² > 2008, o, lo que es lo mismo, que n² > 2008/6 = 334 + 2/3. Como la raíz de 334 es menor que 19 y mayor que 18 (19*19 =361, 18*18 = 324), el primer número para el que tendremos más de 2008 triangulitos será 19.