jueves, 18 de junio de 2009

El abuelo

Enunciado

Puesto que se trata de un problema de primaria, debemos resolverlo sin álgebra. Probablemente, un estudiante de esta edad lo plantearía como un estudio sobre los números que podría tener como cantidad de hijos. Realizando una tabla, llegaría a la conclusión correcta y a que es única de manera muy rápida.

Imagina que tiene 5 hijos. Si cada uno tiene tantos hijos como hermanos, tiene 4 hijos, de forma que en total tendrá 5*4 = 20 nietos. La suma de nietos e hijos es 20 + 5 = 25, que está muy lejos de la edad propuesta para el abuelo, pero que nos puede dar una idea.

Si seguimos tanteando, llegamos a que en el caso de que se trate de 7 hijos, obtenemos 7*6 = 42 nietos y 49 como suma combinada. Está claro que 8 hijos proporciona la primera respuesta válida, que es 56 nietos y 64 como edad. Puesto que si seguimos aumentando el número de hijos cada vez aumenta más el número de nietos, y por tanto la suma total, y que con 9 hijos la edad del abuelo sería ya de 81 años, vemos que 8 hijos es la única respuesta posible.

Como comentan los visitantes del enunciado, el resultado es 64 años, 8 hijos y 56 nietos. Cada hijo tiene 7 hermanos y 7 hijos.

Otra forma de ver que la edad del abuelo es un cuadrado perfecto es pensar en hacer una composición fotográfica con las fotos de los hijos y, bajo cada uno de ellos, la de todos los nietos que son hijos de ese hijo en particular. Evidentemente, la figura tendrá forma rectangular, pero si nos fijamos que para cada hijo, tenemos la misma anchura (número de hermanos) que altura (número de hijos), será evidente que la cantidad total será un cuadrado perfecto. Como la edad del abuelo coincide con la cantidad total de fotos, es, necesariamente, un cuadrado perfecto. Y el único cuadrado perfecto entre 50 y 70 es 64 (8 hijos y 56 nietos, siete de cada hijo).