domingo, 28 de junio de 2009

Dos circunferencias en un paralelogramo

Enunciado

Paralelogramo con dos circunferencias

Paralelogramo con dos circunferencias

Lo primero que debemos aprender es a dibujar correctamente el problema. En este caso, en principio es muy difícil dibujar la situación descrita partiendo del paralelogramo (aunque al final, basado en el enunciado del problema, daré un método). Sin embargo es muy sencillo hacerlo exactamente al contrario, es decir, dibujando las dos circunferencias tangentes, y trazando después los lados del paralelogramo.

Debemos añadir al dibujo unas cuantas líneas muy comunes que nos serán útiles. En este caso, los radios a los puntos de tangencia, y las líneas que unen los vértices del paralelogramo con el punto de tangencia entre circunferencias.

Muy pronto me di cuenta de que los triángulos que aparecían entre los vértices del paralelogramo, los centros y el punto de tangencia eran semejantes. Demostrar este hecho no es trivial, pero tampoco es muy complicado.

Como en el dibujo, vamos a llamar A y B a los centros de la circunferencia, C al punto de tangencia, y K y M serán los vértices del paralelogramo donde se cruzan los dos lados tangentes a cada circunferencia.

Los segmentos AC y BC son radios, respectivamente, de sus circunferencias, pero por ser estas tangentes están sobre la misma recta, es decir, forman el mismo ángulo sobre lados paralelos. Los segmentos KA y MB, por ser las circunferencias tangentes a esos dos lados, están en la bisectriz del ángulo, de forma que de nuevo forman el mismo ángulo respecto a los lados.

Usando estos lados (en particular los puntos de tangencia con los lados G e I, podemos ver que los triángulos KAG y MBI son semejantes (con razón de semejanza el cociente entre radios), como lo son también AGC y BIC, por ser también los lados semejantes y el ángulo entre radios igual, por lo que los cuadriláteros KACG y MBCI también son semejantes.

De esta forma, las diagonales KC y MC forman el mismo ángulo con los lados, es decir, están sobre la misma recta. Como KM es la diagonal, se demuestra el enunciado.

Para terminar, doy el método de construcción al que hacía referencia. Supongamos que tenemos el paralelogramo. Trazamos la diagonal y las dos bisectrices en los extremos (si coinciden, cualquier par de circunferencias con centro en este segmento y tangentes entre sí nos sirven). En cualquier punto sobre la bisectriz trazamos una circunferencia tangente a ambos lados. En el punto de corte con la diagonal, trazamos un radio de la circunferencia y lo prolongamos hasta cortar la bisectriz contraria. En el punto de intersección, la circunferencia tangente a la primera, también será tangente a los dos lados opuestos del paralelogramo original, ya que si existe tal circunferencia el punto de tangencia estará en la diagonal.