jueves, 11 de junio de 2009

Simplificación

Enunciado

En realidad hay unas 1000 posibilidades para probar, de forma que el tanteo es una opción poco recomendable. Es mucho mejor plantear una ecuación diofántica (cuyas soluciones son números enteros), y estudiarla usando criterios de divisibilidad y cosas similares.

Para poder simplificar de la forma que se indica, deben aparecer tres cifras, que podemos llamar A, B y C, de forma que la fracción AB/BC sea equivalente a A/C. AB y BC no representan el producto de A y B o de B y C, si no 10A + B y 10B + C, según nuestra manera de representar los números de dos cifras.

La equivalencia de fracciones se puede expresar de una forma muy sencilla diciendo que los productos cruzados han de ser iguales (dicho de otra manera, la división entre ambas fracciones ha de ser uno). Esto lo podemos expresar con la igualdad (10A + B)*C = (10B + C)*A. Desarrollando ambos extremos, obtenemos 10AC + BC = 10AB + AC. Es evidente que únicamente podemos reducir los términos AC, y en ese caso podemos transformar la expresión de dos formas, como 9AC + BC = C(9A + B) = 10AB, o bien 9AC = 10AB - BC = B(10A - C). Cada una de esas formas da lugar a un estudio diferente. Yo voy a optar por estudiar la primera, 10AB = C(9A + B), pero se podría optar por trabajar con la otra (a ver si alguien se anima y lo hace en los comentarios).

Como 10 = 2*5, o bien C o bien 9A + B son múltiplos de 5. Está claro que C no puede ser 0, pues al final saldría una fracción de denominador nulo. Supongamos que C es 5. Entonces, 10AB = 45A + 5B, por lo que A(10B - 45) = 5B. Eso significa que B debe ser mayor que 5, y sólo se puede cumplir para B = 6, A = 2 (26/65 = 2/5) y para B = 9, A = 1 (19/95 = 1/5). Ahora sólo nos queda la opción de que 9A + B es múltiplo de 5, y en ese caso tenemos los pares (1, 1), (2, 2), (3, 3), etcétera, que dan lugar a fracciones como 11/11, 22/22, 33/33, ... , 99/99, que cumplen el sistema de simplificación de forma trivial, y también los pares (1, 6), (2, 5), ... (9,4), entre los cuales no todos cumplen la relación 10AB = (9A + B)C para un C válido, y que proporcionan el caso (1, 6, 4), es decir, 16/64 = 1/4, con el que está presentado el problema, y el (4, 9, 8), es decir 49/98 = 4/8.

En resumen, dejando casos triviales en los que se repitan todas las cifras, sólo hay cuatro casos como el que se muestra de ejemplo, 49/98 = 4/8, 16/64 = 1/4, 19/95 = 1/5 y 26/65 = 2/5.