domingo, 5 de julio de 2009

La magia de los círculos

Enunciado

Como dicen varios de los visitantes en los comentarios, la proporción se calcula de manera sencilla, y no depende del número de círculos que hay en el dibujo, así que se mantendrá constante desde el dibujo primero, con un único círculo, hasta el que tuviese 100.

Utilizaremos la fórmula del área del círculo, π*R2, donde R es el radio. En el primer dibujo el radio es la mitad del cuadrado, es decir, 1/2. Así que el área del círculo es π/4 (y como el área del cuadrado es 1 en las mismas unidades, también ésa es la proporción entre ambas).

En el segundo, como son 4 los círculos, dos por fila, su radio es la mitad, es decir, 1/4. El área de cada uno de ellos será π/16, y como son 4, el área conjunta de todos ellos volverá a ser π/4. De nuevo la misma proporción.

En el tercer caso, hay nueve círculos, tres por fila, por lo que el radio de cada uno de ellos es 1/6, por lo que su radio π/36, y al multiplicarlos por 9, obtenemos π/4.

En general, si hay n filas de n círculos, el total de círculos es n2 y el radio de cada uno de ellos será 1/2n. El área de cada círculo será π/(4n2), pero al multiplicar por la cantidad de círculos que tendremos, obtendremos de nuevo la misma proporción, π/4.

De todas formas, hay otro razonamiento más general para ver que la proporción es la misma. Si te das cuenta, en cada imagen podemos encontrar más dibujos proporcionales de un círculo dentro de un cuadrado. Cuando tenemos dos dibujos proporcionales, es decir, semejantes, las longitudes que podemos medir en estos dibujos siempre aparecen multiplicadas por un factor llamado factor de escala, pero si nos fijamos en las áreas, aparecerán multiplicadas por el factor de escala al cuadrado. Como la cantidad de dibujos semejantes son exactamente el cuadrado de la cantidad que utilizamos como factor de escala, el área conjunta de todos los círculos siempre será la misma. Esta circunstancia se daría independientemente del aspecto que tenga la figura semejante. Si dibujamos 10000 figuritas 100 veces más pequeñas que un original, su área total será la misma que la original.