domingo, 12 de julio de 2009

Planos y puntos en el espacio

Enunciado

Alguno de los comentarios ha dado en el clavo: Son 6. Pero falta una justificación rotunda de que no puede haber más.

La idea para encontrarlos consiste en pensar en el número de puntos alineados y coplanarios (en el mismo plano) que puede haber.

Empecemos por suponer que no hay tres puntos entre los 6 que estén alineados. En ese caso, cada tres puntos definirán un plano, es decir, habrá un único plano que los contenga. Supongamos que tenemos tres de esos puntos. Si están en uno de los planos del problema, hay un cuarto punto que está en el mismo plano que ellos. Esos puntso los llamaremos A, B, C y D.

Ahora pensemos en otro plano de ese conjunto. Como mucho, puede tener a dos puntos de los que hemos usado ya (pongamos A y B), pues si tuviese tres, sería el mismo plano de antes. Y tiene que tener dos más (E y F), que estarán en el mismo segundo plano. Evidentemente, no puede tener uno sólo del primer plano, puesto que sólo quedan dos sin usar y tiene que tener 4 del conjunto. Estos dos puntos E y F externos al primer plano definen una recta, y los planos que pasan por ella son una familia de planos que tienen una recta en común, es decir, es como si girasen en torno a esa recta. Como mucho podría haber otro plano que los contuviese a ellos y a los otros dos no usados del primer plano (C y D), ya que no podemos hacer un plano que pase por tres ya usados y sea distinto.

Hasta ahora, tenemos tres planos, pero no puede haber ninguno más, porque siempre usaríamos tres puntos de uno de los tres planos, y eso haría que coincidiese con uno de los tres planos. En estas condiciones, por tanto, sólo puede haber tres planos.

Vamos a explorar un segundo caso, en el que sí pueda haber tres puntos alineados. En el enunciado del problema impide que haya cuatro puntos alineados, pero sí podemos suponer que hay 3 alineados, A, B y C. Evidentemente, como forman una recta, hay una familia de planos que contiene a los tres puntos (y a la recta) y que son los planos que la usan como eje de giro. Como cada plano del conjunto tiene que contener al menos 4 puntos, en el mejor de los casos podemos hacer pasar tres planos por esa recta y cada uno de los otros tres puntos, con lo que tendremos a lo sumo tres planos de ese tipo.

Si los otros tres puntos (D, E y F) no están alineados, sólo hay un plano que pueda contener a los tres puntos, que si elegimos cuidadosamente los puntos, puede pasar por un cuarto punto de los tres iniciales (ojo, si pasa por dos, todo se resume en que pasa por todos y es uno de los anteriores). En ese caso, tendríamos un máximo de cuatro planos en el conjunto (es el caso que presenta otro de los comentarios al problema).

Pirámide y 6 planos

Pirámide y 6 planos

Y por último, viene el caso que buscamos, en el que sí están alineados D, E y F. En ese caso, por ellos puede pasar una familia de planos (de nuevo, rotando en torno a la recta). Si se colocan adecuadamente, a lo sumo podrían pasar tres planos, respectivamente, por A, B y C, con lo que contaríamos hasta 6 planos en las condiciones del problema. No podría haber más de 6 (y esto es importante), porque si hubiese otro plano, debería contener al menos dos de uno de los conjuntos A, B y C o D, E y F, por lo que contendría a los tres de una familia, y a uno de la otra, al menos, es decir, sería uno de los seis ya indicados.

Es posible construir los seis puntos y los seis planos que se han indicado (mira la figura). Imagina una pirámide de base triangular (tetraedro, no hace falta que sea regular). La base es el triángulo ABC y el vértice es D. En la arista AB, escogemos un punto cualquiera, que será E, y en la arista CD, que no está en la base, otro punto que será F (no tienen que ser el punto medio, ni tener ninguna propiedad especial). Los puntos serán entonces, A, E, B, alineados, y C, F y D, también alineados. Los planos buscados serían, las caras ABD (contiene a A, B, E y D), ABC (contiene a A, B, E y C), ACD (contiene a A, C, F y D), y BCD (contiene a B, D, E y C), y los planos que cortan a la pirámide CDE (contiene a E, C, F y D) y ABF (contiene a A, B, E y F). En total, seis planos.