jueves, 9 de julio de 2009

Transporte escolar

Enunciado

Como se comenta en el enunciado del problema, la clave es escribir este enunciado de forma matemática. Supongamos que q es el número de estudiantes de cada autobús, y que s es el número de estudiantes de cada vagón. La relación que buscamos es nq + 7 = 14s, donde s es el menor entero que cumpla la condición y n es mayor que 1 y no es primo. Además, q es menor que 52 y "próximo" a 52.

Como 7 y 14 son ambos múltiplos de 7, esto se puede escribir como nq = 14s - 7, por lo que nq = 7(2s - 1). Como se trata de un producto, 7 debe dividir a n o bien dividir a q. Además, tanto n como q deben ser impares, puesto que 7 y 2s - 1 lo son.

Si 7 divide a n, n debe ser al menos 21, ya que no es primo y es impar, y como dice en el problema que q es próximo a 52, debe ser al menos mayor que 40, lo que ocasiona que sea por lo menos 41, lo que lleva a que 2s - 1 sea por lo menos 123, es decir, que s vale al menos 62. Veremos si hay alguna solución mejor.

Si 7 divide a q, n puede ser el menor impar no primo, 9. En ese caso, q es un múltiplo de 7 impar y próximo a 52. Debe ser 49, ya que 35 queda algo pequeño y nadie diría que los autobuses van casi llenos. En ese caso, 2s - 1 podría ser 63, es decir, que s sería 32.

Con estas condiciones, podemos encontrar una solución en la que hay 32 estudiantes por vagón. Si entendemos que 35 asientos ocupados de 52 es "casi llenos", podríamos obtener valores más pequeños, pero no creo que sea así.