Raíces en común

Enunciado

Para resolver este tipo de problema, puesto que aparece un entero n mayor que 2, y un par de polinomios de los que se nombran las raíces, se pueden emplear varias estrategias. Resolver casos concretos, buscando un patrón, o aplicar las fórmulas de Cardano-Vieta, ya que aparecen involucrados coeficientes y raíces de polinomios. Sin embargo, estos métodos no funcionan en este caso de manera cómoda, y debemos recurrir a un sistema mucho más sencillo, que es transformar este enunciado en una ecuación diofántica (con números enteros), y buscar una factorización que nos proporcione una cantidad cómoda de resultados.

Como dice Sebastián en los comentarios, si existe una raíz real común entre ambos polinomios, que podemos llamar s, se debe cunplir simultáneamente que sⁿ + as -2008 = 0 y que sⁿ + bs -2009 = 0. Si buscamos eliminar la potencia más alta de este sistema, restaremos, obteniendo que (b-a)s - 1 = 0, es decir, que s = 1/(b - a). Recuerda que, aunque b y a deban ser enteros, debido al enunciado, s no tiene por qué serlo.

Precisamente por ello podemos substituir s por su expresión en función de números enteros en una de las expresiones, eliminar el valor real, y tratar de convertirla en una ecuación diofántica. Así, por ejemplo, tendremos que 1/(b - a)ⁿ + a/(b - a) - 2008 = 0, de donde 1 + a(b - a)^{n - 1} - 2008(b - a)ⁿ = 0. Por si te lo estás preguntando, puesto que hemos deducido el valor de s de la igualdad entre las dos ecuaciones, es equivalente probar la substitución en la otra ecuación.

Esta ecuación diofántica parece imposible, pero hay dos términos que tienen un claro factor común entero, (b - a)^{n - 1}. Despejando, llegamos a que (a - 2008(b - a))(b - a)^{n - 1} = -1. Ahora, emplearemos el análisis diofántico, es decir, por factores, y veremos que sólo tenemos dos posibilidades, que se resumen en que uno de los términos sea 1 y el otro -1.

El primer factor es 2009a - 2008b y el segundo (b - a)^{n - 1}.

Si el valor de n es impar, el segundo factor no puede ser -1, y por tanto tenemos que 2009a - 2008b = -1 y b - a puede ser 1 o -1, de donde a = 2007 y b = 2008, o bien a = -2009 y b = -2010.

Si el valor de n es par, entonces también tenemos dos casos, que b - a = 1 y entonces 2009a - 2008b = -1, o bien que b - a = -1 y que 2009a - 2008b = 1. El primero nos proporciona la solución a = 2007, b = 2008, común con el caso anterior, y el segundo la solución a = -2007, b = -2008.

Si somos hábiles con los signos, podemos resumir ambos resultados de la siguiente forma: el problema tiene dos soluciones, en función de n. Una de las soluciones es (a, b) = (2007, 2008), y la otra es (a, b) = (-2008 + (-1)ⁿ, -2009 + (-1)ⁿ).