viernes, 18 de septiembre de 2009

Números triangulares

Enunciado

Si hacemos una cuantas pruebas con números bajos, nos daremos cuenta de que, en realidad, T10 - T4 es la suma 5 + 6 + ... + 10, es decir, la suma de los 10 - 4 = 6 números consecutivos a partir de 4, es decir, que Tm - Tn es la suma de los m - n números consecutivos a partir de n (sin incluir éste), y hasta m.

Supongo que conocerás la anécdota sobre Gauss que cuenta cómo sumó los 100 primeros números rápidamente, al observar que los de los extremos sumaban lo mismo que los siguientes, y que los otros, etcétera. En este caso, podemos hacer algo parecido.

Si buscamos, por ejemplo, sumar 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10, podemos darnos cuenta de que 5 + 10 suma lo mismo que 6 + 9, o que 7 + 8, es decir, que sumamos tres veces 15, o lo que es lo mismo, 6*15/2 (la suma del primero más el último, por el total de números dividido entre dos). La fórmula es válida también en el caso en que el número de sumandos sea impar, debido a que el central es exactamente la mitad de la suma repetida.

Aprovechando esta curiosa propiedad, podemos ver de cuántas maneras se puede poner 2008 de la forma a*b/2, estudiando la descomposición de 4016, que es el doble.

Observa otra curiosa situación, que o bien la suma de los números, o bien la cantidad de ellos es impar, así que las potencias de dos deberán ir siempre en uno sólo de los dos factores.

Como 4016 = 2*2*2*2*251, las únicas descomposiciones válidas son 4016 = 1*4016 y 4016 = 251*16, es decir, que 2008 = 1*4016/2 y que 2008 = 16*251/2, o sea que 2008 sea la suma de un único sumando (2008), que conseguiremos como T2008 - T2007 o que sea suma de 16 números.

En este último caso se observa que agrupándolos por pares sumen 251. Sabremos de qué números se trata observando que los dos centrales son prácticamente iguales, y estarán a ambos lados de 251/2, es decir que serán 125 y 126. Hay 7 delante y 7 detrás, que serán desde el 118 al 133. Podemos comprobar que 118 + 119 + 120 + 121 + 122 + 123 + 124 + 125 + 126 + 127 + 128 + 129 + 130 + 131 + 132 + 133 = 2008 = T133 - T117.

Estos son los únicos dos pares buscados, T2008 - T2007 y T133 - T117.