Sumandos numerosos

Enunciado

Cuando se trata de hacer sumas muy grandes, evidentemente hay que tratar de simplificar el proceso agrupando adecuadamente los sumandos, que en muchos casos se simplificarán, bien transformándose en cero, bien en otro número entero, o en una fórmula del tipo de las de una progresión aritmética o geométrica.

El único paso problemático en este caso es buscar los términos que nos permiten hacer el agrupamiento adecuado.

Para no trabajar con valores tan grandes como los sugeridos por el problema, podemos tratar con números algo más pequeños, por ejemplo, sumando h(1/5) + h(2/5) + h(3/5) + h(4/5).

En realidad, 5/(5 + 25^t) se puede escribir como 5/(5 + 5^2t), ya que 25 es 5², y si observamos que el factor 5 aparece en el numerador y el denominador de la fracción, podemos ponerla como 1/(1 + 5^2t-1).

De esta forma, la suma de cuatro términos que hemos descrito anteriormente, queda con los exponentes -3/5, -1/5, 1/5 y 3/5, es decir, como la suma 1/(1 + 5^-3/5) + 1/(1 + 5^-1/5) + 1/(1 + 5^1/5) + 1/(1 + 5^3/5).

Si tratamos de agruparlos de varias formas, pronto descubriremos que lo más ventajoso es agrupar 1/(1 + 5^-3/5) con 1/(1 + 5^3/5) y 1/(1 + 5^-1/5) con 1/(1 + 5^1/5), ya que 1/(1 + 5^-1/5) + 1/(1 + 5^1/5) = (1 + 5^-1/5 + 1 + 5^1/5)/((1 + 5^-1/5)(1 + 5^1/5)) = (2 + 5^-1/5 + 5^1/5)/(1 + 5^-1/5 + 5^1/5 + 1)) = (2 + 5^-1/5 + 5^1/5)/(2 + 5^-1/5 + 5^1/5) = 1.

De la misma forma, 1/(1 + 5^-3/5) + 1/(1 + 5^3/5) = (1 + 5^-3/5 + 1 + 5^3/5)/((1 + 5^-3/5)(1 + 5^3/5)) = (2 + 5^-3/5 + 5^3/5)/(1 + 5^-3/5 + 5^3/5 + 1)) = (2 + 5^-3/5 + 5^3/5)/(2 + 5^-3/5 + 5^3/5) = 1, así que la suma de los cuatro términos es en realidad 2.

Retomando ahora nuestra situación inicial, si agrupamos el primer término y el último, el segundo y el penúltimo, y así sucesivamente, tendremos que agrupamos h(a/2009) con h((2009-a)/2009). Siguiendo el argumento anterior, tendremos que sumar 1/(1 + 5^{(2a-2009)/2009}) con 1/(1 + 5^{(2009-2a)/2009}). Observamos que, de nuevo, los exponentes son opuestos.

Cuando los sumemos obtendremos 1/(1 + 5^{(2a-2009)/2009}) + 1/(1 + 5^{(2009-2a)/2009}) = (1 + 5^{(2a-2009)/2009} + 1 + 5^{(2009-2a)/2009})/((1 + 5^{(2a-2009)/2009})(1 + 5^{(2009-2a)/2009})) = (2 + 5^{(2a-2009)/2009} + 5^{(2009-2a)/2009})/(1 + 5^{(2a-2009)/2009} + 5^{(2009-2a)/2009} + 1)) = (2 + 5^{(2a-2009)/2009} + 5^{(2009-2a)/2009})/(2 + 5^{(2a-2009)/2009} + 5^{(2009-2a)/2009}) = 1.

De esta forma, tenemos 1004 pares de sumandos, cada uno de los cuales suma 1. Por tanto, la suma del enunciado es 2*1004 = 2008.