Puntos especiales de un triángulo

Enunciado

Vamos a trabajar, dados cuatro puntos A, B, C y P, qué significa que 1 ≤ APB/ACB ≤ 2.

En primer lugar, ACB ≤ APB, significa, puesto que tienen el mismo extremo AB, que están dentro del arco de circunferencia que define el ángulo ACB al variar C. Observa que sobre la circunferencia, el ángulo permanece constante, pero en el interior es mayor el ángulo, y en el exterior es menor.

Zona que cumple una condición

Por otro lado, APB ≤ 2*ACB. Si pensamos en el ángulo ACB inscrito en una circunferencia, conocemos un punto en el que el ángulo es igual a 2*ACB, el centro de dicha circunferencia. Si queremos estudiar en qué puntos permanece constante ese ángulo, trazaremos un arco que contenga a ese centro y tenga AB por segmento. Los puntos en el exterior de ese arco formarán un ángulo menor que 2*ACB, y los del interior, formarán un ángulo mayor.

Si queremos que ambas condiciones se cumplan, los puntos P estarán en el interior de una especie de luna (lúnula) que forman los puntos de un arco que no están en el otro, incluyendo (debido al símbolo menor o igual) los puntos de las circunferencias. si además, imponemos que estén en el interior del triángulo, serán los puntos de esa lúnula que estén en el triángulo.

Con las tres condiciones

Si ahora añadimos la misma condición para los otros tres vértices, habrá que dibujar los puntos que cumplan condiciones equivalentes para los otros tres vértices. Observa que el centro de la circunferencia circunscrita será el mismo, el circuncentro del triángulo (es interno al triángulo por ser acutángulo).

El resultado sería un conjunto de puntos exterior a las tres circunferencias que pasan por el circuncentro y por dos de los tres vértices. Como cada par de ellas comparte dos puntos (el centro y uno de los vértices), no puede haber dos tangentes, por lo que delimitan en el interior del triángulo seis zonas, ninguna de las cuales es exterior a todas las circunferencias (es mas, tres de ellas son interiores a dos de las circunferencias). en cuanto a los puntos de las propias circunferencias, todos los del interior del triángulo están también dentro de alguna de las circunferencias, excepto el propio circuncentro.

Por lo tanto, el único punto que cumple las condiciones pedidas es el circuncentro.