jueves, 24 de septiembre de 2009

Seguimos la pista...

Enunciado

Si miras los comentarios, verás que Lluís Usó me ha dejado, de nuevo, sin trabajo, dando una solución muy completa.

Lo que debo comentar es que en las sucesiones rara vez la solución es única, porque casi siempre existe otra sucesión tan lógica como la que el autor estaba pensando, y que responde perfectamente a los primeros números.

Sin embargo, hay un truco que te puede sugerir el tipo de sucesión que el autor pensaba, que consiste en hallar las diferencias. Si hay signos, se pueden considerar por separado, ya que normalmente cumplen una función decorativa o de despiste. Por último, también suele ser útil considerar los factores que aparecen en la descomposición.

La primera sucesión está claro que tiene un signo que cambia de positivo a negativo, y viceversa, cada vez. Si quitamos este símbolo, las diferencias de un número con el siguiente son siempre 4, por lo que es fácil continuar: 23, -27, 31.

En la segunda sucesión el método de las diferencias no nos dice nada. Si probamos con la factorización, rápidamente nos puede indicar que se trata de 22, 33, 44, ... Si disponemos de una calculadora, rápidamente obtendremos los siguientes términos: 823543, 16777216 y 387420489 (aunque tendríamos problemas para hallar este último con una calculadora de 8 cifras).

La siguiente sucesión da una diferencias de 5, 7, 9 y 11, lo que a suvez tiene unas diferencias siempre iguales a 2. La siguiente diferencia, entonces sería 13, luego 15 y luego 17, es decir, que los términos que buscamos los podemos obtener sumando a 35 + 13 = 48, 48 + 15 = 63 y 63 + 17 = 80. también es cierto que podríamos haber observado que si le añadimos 1 a cada término, obtenemos un cuadrado perfecto.

La siguiente sucesión, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 es muy famosa, pero aunque no la conozcas, observarás que sus diferencias son de nuevo 0, 1, 1, 2, 3, 5, de forma que podemos aplicarlo para obtener los siguientes, 13 + 8 = 21, 21 + 13 = 34, 34 + 21 = 55. En realidad, se llama la sucesión de Fibonacci, y cada término se obtiene sumando los dos anteriores.

Y la última, las diferencias no dan muchas pistas, y las factorizaciones nos indican que todos son primos. Es fácil ver que no hay más primos entre ellos, por lo que rápidamente podemos concluir que son los números primos a partir de 29, es decir que los siguientes serán 53, 59 y 61.