Sección rómbica de un tetraedro

Enunciado

La principal dificultad de este tipo de cuestiones es imaginarse la situación adecuadamente, ya que en muchas ocasiones nos falta práctica con la visión espacial. Puede que nos tengamos que construir una figura tridimensional para practicar con ella. Haber cursado un curso de dibujo técnico puede ayudar mucho.

Si el tetraedro no fuese regular, el enunciado no sería cierto (basta imaginar un rombo, y hacer pasar por los lados paralelos un diedro, un par de planos que se cortan en una recta, otro enfrentado por el opuesto, y sale necesariamente un tetraedro, en cuanto hagas que ninguno de los cuatro sea paralelo al otro).

Tetraedro seccionado y desplegado

Es una pena que en el enunciado original no se aclarase que se refería a un tetraedro regular, porque es una figura muy conocida y seguramente habría sido sencillo imaginarlo para los participantes.

Por si quieres tener una referencia clara de cómo es la sección cuadrada de un tetraedro regular (solo hay una), he preparado un dibujo sobre como sería un recortable de esa sección. Los lados que tienen la misma letra deben unirse tras recortarlo. Basta hacer dos iguales y entre ambas formarán el tetraedro original.

Para demostrar el problema (con un tetraedro regular), debemos observar las propiedades de las caras y las aristas de un tetraedro regular.

Imagina que tienes una sección plana con los cuatro lados iguales, paralelos dos a dos, dibujados sobre un tetraedro. Para tener una sección con cuatro lados, debe cortar el mismo plano a las cuatro caras distintas.

Recuerda que en un tetraedro, las cuatro caras están en contacto unas con otras a través de las seis aristas.

Cunado dos lados del rombo son paralelos, como están dibujados sobre planos distintos, no hay más remedio que sigan la dirección de la recta de corte, la arista. Es decir, la arista es paralela a los dos lados de la sección que son paralelos.

Si te das cuenta, las dos aristas paralelas a las dos direcciones del rombo no pueden tener ningún vértice común, ya que no tienen ninguna cara en común. Pero cada arista toca a otras cuatro, y sólo tiene una arista enfrentada. Estas aristas enfrentadas, dada la simetría del tetraedro, siguen direcciones perpendiculares, luego los lados del rombo son paralelos a rectas perpendiculares, luego son perpendiculares. Por tanto, el rombo es necesariamente un cuadrado.

Siguiendo el mismo razonamiento, cualquier sección que sea un paralelogramo es un rectángulo.