Sumando números con cifras repetidas

Enunciado

Este problema se puede plantear de varias formas. En un planteamiento muy general, se trata de resolver la ecuación diofántica 2009 = a*1111 + b*111 + c*11, donde a, b y c son números entre 0 y 45, ya que, en teoría, podríamos escribir un número de esta forma con 11 + 22 + 33 + ... + 99 = 11*45, ya que (1 + 9)*10/2 = 45. Observa que los sumandos deben ser distintos, es decir, no podemos conseguir múltiplos de 11, 111 y 1111 mayores que 45.

Resolver esta ecuación diofántica con tres variables totalmente sería muy difícil.

Sin embargo, como sólo queremos una solución en el apartado i), y las soluciones que menos sumandos tienen en el ii), podemos acortar considerablemente el razonamiento.

Vamos a buscar una expresión rápidamente. Como 2222 es mayor que 2009, partiremos de 1111. Otra opción sería no usar números de 4 cifras, pero veremos que esa opción produce más sumandos.

La diferencia entre 2009 y 1111 es 898, es decir, 898 es lo que tendrán que sumar los otros. Si usamos 888 tendremos que lograr 10, cosa imposible con sumandos de este tipo, por lo que partiremos de 777, con lo que nos faltará 121. Evidentemente, 121 = 11*11, por lo que lo podemos obtener con dos sumandos como 99 + 22 = 88 + 33 = 77 + 44 = 66 + 55 = 121.

De esta manera, tenemos cuatro sumas que dan 2009 = 1111 + 777 + 99 + 22 = 1111 + 777 + 88 + 33 = 1111 + 777 + 77 + 44 = 1111 + 777 + 66 + 55. Veamos que no se pueden obtener más, ni reducir la cantidad a tres sumandos, con lo que quedará vista la segunda parte.

Es evidente que no podemos complementar 1111 + 777 con un par de sumandos para dar 2009, ya que los sumandos deberían ser múltiplos de 11. ¿Podríamos llegar a tener 898 con tres sumandos de este tipo de otra forma?

Si consideramos 898 - 666 = 232, por no ser múltiplo de 11 no podemos expresarlo como suma de números de dos cifras, y si lo intentamos con números de 3 llegaríamos a 888 o 777, números que ya se han estudiado.

Si bajamos a 898 - 555 = 343, volvemos a repetir el mismo razonamiento.

Con 898 - 444 = 454 igual.

Y también con 898 - 333 = 565, con 898 - 222 = 676 y con 898 - 111 = 787. Como 898 no es tampoco múltiplo de 11 tampoco se puede expresar con sumandos de dos cifras iguales.

La única opción que debemos estudiar aparte sería el caso en que no usáramos sumandos de cuatro cifras para lograr 2009.

Si restamos a 2009 999 obtenemos 1010, que tampoco es múltiplo de 11 (no podemos conseguirlo con sumandos de 2 cifras). Si probamos a restar a 1010 otros números de tres cifras, tampoco lograremos números múltiplos de 11 (122, 233, 344, 455, 566, 677 y 899).

Por último, si probamos a restar a 2009 otros números como 888, 777, etcétera, logramos 1121, 1232, 1343, 1454, 1565, 1676, 1787 y 1898, de los que sólo 1232 es múltiplo de 11 y por lo tanto sería el único que podríamos conseguir como suma de números de dos cifras, pero es excesivamente grande, 112*11, muy lejos del máximo que podríamos lograr con tres sumandos distintos de dos cifras, 99 + 88 + 77 = 264. Ni siquiera podríamos lograrlo empleando todos los sumandos posibles de dos cifras, ya que llegaríamos a lo sumo a 45*11.