Triángulos sobre unos puntos

Enunciado

Este problema es un problema que implica únicamente contar triángulos. Lo principal en este tipo de problemas es marcar de alguna forma los triángulos que vamos realizando, para asegurarnos que no repetimos ninguno.

Todos los triángulos

Vamos a tratar de hacer el recuento de forma gráfica, marcando los triángulos que vamos contando de alguna forma.

Lo que se hace en el dibujo es marcar un punto. A partir de ahí, se marca el segundo y se van señalando todos los puntos en los que se crea un triángulo nuevo. Tomando los dos puntos de la parte superior que están más próximos, encontramos seis puntos sobre los que construimos triángulos distintos. Observa que un punto no está marcado porque desde él sale un triángulo que ya se ha encontrado de otra manera.

A continuación se cambia el segundo punto, y encontramos otros cinco triángulos que no coinciden con los anteriores.

Volvemos a cambiar, y salen cuatro puntos con triángulo nuevo. Luego tres, uno, tres y dos. Con este último, acabamos con los triángulos que parten del primer punto. Los que quedan no funcionan como segundo punto, porque ocasionan triángulos que ya han aparecido.

Si cambiamos de posición el primer punto, hay que tener cuidado para no repetir ningún triángulo, por lo que sólo encontramos un candidato a segundo punto, que produce un único triángulo nuevo. Ya no encontramos nuevos triángulos, ya que si usamos el tercer punto de arriba como primer punto es equivalente a usar el primero, igual que si usamos uno de los de abajo. Y alguno de esos tendremos que usar para los triángulos, por estar los otros alineados.

En total, son 25 triángulos distintos, si no he contado ninguno dos veces.