jueves, 1 de octubre de 2009

La tarjeta de crédito

Enunciado

Este problema es bastante sencillo y se puede resolver de varias formas, incluso por tanteo. Varios de los que escriben comentarios en el blog lo han resuelto de formas muy distintas, pero lo mejor es combinar algunas de ellas para aprender un poco de este problema.

Si un número de dos cifras tiene que ser igual a la suma del cubo de sus unidades más el cuadrado de sus decenas, la cifra de las unidades debe ser menor que 5, ya que 125 excede las dos cifras. Supongamos que llamamos a al número de las decenas, y b al número de las unidades. El número es 10a + b. Puesto que es igual a la suma del cuadrado de las decenas más el cubo de las unidades, tenemos que 10a + b = a2 + b3. Esta igualdad se puede escribir también como 10a - a2 = b3 - b. Observa que la segunda parte de la igualdad es positiva para todos los valores, así que debemos tratar de ajustarla para valores de a resolviendo ecuaciones de segundo grado para los valores de b entre 0 y 4.

Para 0 y 1 obtenemos la misma ecuación, 10a - a2 = 0, cuyas soluciones a = 0 y a = 10 no son válidas (suponemos que un número de dos cifras no empieza por 0).

Para 2, obtenemos la ecuación 10a - a2 = 6. Su discriminante (lo que hay dentro de la raíz) es 76, que produce un resultado no entero con total seguridad.

Para 3, obtenemos la ecuación 10a - a2 = 24, que produce dos soluciones, a = 6 y a = 4. Probablemente estos son los números a los que se refiere el enunciado.

Para 4, obtenemos la ecuación 10a - a2 = 60, que produce un discriminante negativo.

En definitiva, que las dos únicas soluciones son 63 y 43. Ordenados de mayor a menor, serían las cuatro cifras 6343. Ese sería el número secreto de la tarjeta.