Desigualdad entre sumas y productos

Enunciado

Todos los enunciados que incluyen alguna desigualdad necesitan, por lo habitual, una serie de conocimientos previos: las desigualdades de las medias aritméticas, geométricas y potenciales.

Si vas a participar en este tipo de concursos, debes recurrir a ellas a menudo. Te recomiendo que leas, en rincón matemático, medias aritméticas y geométricas y medias potenciales.

En este caso, la idea es que partimos de que (a + 1)(b + 1)(c + 1) es el cubo de una media geométrica, por lo que es menor o igual que el cubo de la media aritmética, que es (a + 1 + b + 1 + c + 1)/3 = (a + b + c + 3)/3, que es estrictamente menor que (1/2 + 3)/3 = 1/6 + 1 = 7/6.

Por tanto, (a + 1)(b + 1)(c + 1) < (7/6)³ = 343/216, claramente menor que 2.

¿Se puede demostrar esta desigualdad sin recurrir a la desigualdad aritmética geométrica?

Probablemente, se podría tratar de estudiar el problema de varias formas. En una primera aproximación, se puede fijar dos de los valores y probar que la función correspondiente a la otra tiene un máximo valor que es menor al indicado, en el dominio correspondiente entre cero y la desigualdad a + b + c < 1/2. Después, se probaría que esto sucede para los otros dos valores por simetría, por lo que se comprobaría, aunque el proceso sería muy largo.

Otra forma de trabajar podría ser fijar un valor intermedio x y representar los otros dos como x + y (el mayor) y x - z (el menor), con y y z positivos. Probablemente la función representada así sea algo más sencilla de tratar que la anterior, aunque sin duda también sería un largo trabajo.