Pintando un logotipo

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Este problema es más complicado de lo que parece.

Vamos a descomponer la figura en dos zonas, el cuadrado con un octógono dentro, y el par de hexágonos cóncavos del borde.

Fragmento de la decoración

La primera parte es sencilla de pintar. Como dice Lluís en los comentarios, podemos elegir para el octógono cualquier color de los tres, y después uno de los otros dos para uno de los bordes. De esta forma, queda perfectamente coloreado el resto de esa parte, pues los otros fragmentos no tienen más remedio que pintarse de un color según el color que tengan sus vecinos. Así, tendremos 3*2 = 6 coloraciones posibles para esa zona.

Los seis primeros ejemplos de la imagen que acompaña a estas líneas son las seis decoraciones posibles para esa parte de la figura.

Pero, una vez fijamos los colores para esa parte, hay tres formas de decorar la otra. Uno de los dos hexágonos exteriores tiene dos posibilidades para elegir su color. Si se elige el color del octógono central, el otro hexágono queda determinado, pero si el color seleccionado es el otro, dispondremos de dos posibilidades para la última. Así, para cada coloración de la primera zona, tenemos tres posibilidades para el par de hexágonos, lo que hace un total de 18.

Los tres últimos dibujos de la imagen muestran las tres coloraciones de los hexágonos exteriores para una misma coloración del cuadrado.