domingo, 2 de mayo de 2010

Triángulo primo

Enunciado

No hace falta que se copien todas las filas anteriores, pero se puede encontrar cierta regularidad, si observamos las filas que tenemos.

1 2

1 2 3

1 2 3 4

1 4 3 2 5

1 4 3 2 5 6

1 4 3 2 5 6 7

En efecto, muchas filas son idénticas salvo en un número, y se alternan números pares e impares (excepto 2, todos los primos son impares).

Evidentemente, uno se puede dedicar a tantear hasta tener las filas completas, pero es mas sencillo reutilizar las sumas que sabemos que dan número primo.

Por otra parte, hay una mayor abundancia de primos entre los números bajos, por lo que es relativamente sencillo acomodar los números pequeños para que sumen primo, mientras que es más difícil hacerlo con los grandes. El truco suele ser iniciar el trabajo por la parte grande (la más difícil), reutilizar en buena medida la fila anterior, y acabar por los números bajos, cuidando siempre la alternancia par e impar.

Así, la octava fila la iniciamos con el 8 por la izquierda. Al lado no podemos usar el 7, pero sí el 5. Junto a este, en la fila de arriba están el 2 y el 6, así que usamos el 6, y al lado el 7, como en la fila de arriba. Después podemos acabar con el 4, el 3, el 2 y el 1.

Para la siguiente fila empezamos por el 9, como el 8 suma con él 17, podemos copiar entera la fila y estará bien.

Lo mismo con la fila del 10.

Con el 11, hay que reconstruir de nuevo la fila. Mirando la fila superior, hay que hacer varios cambios. a mí se me ocurre 11 - 8 - 9 - 10 - 7 - 6 - 5 - 2 -3 - 4 - 1.

El 12 sólo hace falta añadirlo a la fila anterior, ya que 11 + 12 = 23.

El 13 podemos sumarlo, por ejemplo, con el 10, reutilizando las parejas de la fila anterior, quedaría 13 - 10 - 9 - 8 - 11 - 6 - 5 - 2 -3 - 4 - 1.

El 14 de nuevo exige cambios, por ejemplo, asociándolo con el 9, pero entonces el 13 se puede emparejar con el 6 (14 - 9 - 10 - 13 - 6 - 11 - 8 - 5 - 2 -3 - 4 - 1).

Y por último, el 15 sólo se añade a la fila anterior, pues 14 + 15 = 29.

Como nota curiosa, varias personas lo hicieron y cada uno usó una versión diferente del triángulo (no hubo dos iguales). El que reproduzco es el que se crea con ese algoritmo.

1 2

1 2 3

1 2 3 4

1 4 3 2 5

1 4 3 2 5 6

1 4 3 2 5 6 7

1 2 3 4 7 6 5 8

1 2 3 4 7 6 5 8 9

1 2 3 4 7 6 5 8 9 10

1 4 3 2 5 6 7 10 9 8 11

1 4 3 2 5 6 7 10 9 8 11 12

1 4 3 2 5 6 7 12 11 8 9 10 13

1 4 3 2 5 8 11 12 7 6 13 10 9 14

1 4 3 2 5 8 11 12 7 6 13 10 9 14 15