domingo, 18 de julio de 2010

Conjuntos especiales

Enunciado

En principio podemos empezar por tantear con los números más bajos posibles cuándo se da esta circunstancia. Evidentemente, si dos números son consecutivos, la diferencia es 1, por lo que cumplirán la condición rápidamente si usamos 1 y 2, o 2 y 3. sin embargo, 1 y 3 no la cumplen, por lo que {1, 2, 3} no es un conjunto especial. Como 2, 4 sí cumplen la condición, por ser 4 - 2 = 2, y 4 divide a 4*2 = 8, el conjunto {2, 3, 4} es un conjunto especial, con lo que tenemos resuelto el apartado (a).

Estos tres números, además, están en progresión aritmética, pero si añadimos el 5 no funciona por no ser 5 - 3 = 2 un divisor de 3*5.

Veamos si hay alguna regla general en la situación del apartado (b) (si tanteamos repetidamente, veremos que no es sencillo encontrar cuatro números como nos piden). Un conjunto de esas características dependería de dos números a y b, sería {a, a + b, a + 2b, a + 3b}. Las condiciones que tiene que cumplir es que b2 divide a a*(a + b), a (a + b)*(a + 2b) y a (a + 2b)*(a + 3b), que 4b2 divide a a*(a + 2b) y a (a + b)*(a + 3b) y 9b2 divide a a(a +3b).

Son muchas condiciones, veamos si podemos descubrir algo de todas ellas. De la primera, obtenemos que b2 divide a a2 + ab, es decir, que kb2 = a2 + ab. En estos casos, se suele buscar despejar alguna de las dos incógnitas, pero no parece sencillo. Sin embargo, jugando con esta igualdad, obtenemos que kb2 - ab = a2, por lo que b*(kb - a) = a2. Esto significa que cada factor primo de b está presente en a (puede que un número no divida a otro pero sí a su cuadrado).

Ese descubrimiento nos permite "bajar" a otro conjunto del mismo tipo más sencillo, ya que cuando trabajamos con enteros es muy típico recurrir al ejemplo menor posible. Si estamos en esta situación, dado que todas las condiciones que hemos puesto son productos de dos términos, al dividir a y b por un mismo número, se siguen cumpliendo las mismas relaciones de divisibilidad. Dividiendo por los factores primos de b tanto a como b, llegaremos a otro conjunto especial, con números más bajos. Así, procederemos hasta que b no tenga factores primos, es decir, sea 1.

Hemos llegado a una situación en la que el conjunto es de la forma {x, x + 1, x + 2, x + 3}, y las condiciones son triviales para pares de números consecutivos, como sabemos, pero 4 divide a x(x + 2) y a (x + 1)(x + 3). Sin embargo, está claro que ambos números tienen distinta paridad, es decir, si x es par, (x + 1)(x + 3) es impar, y si es impar, entonces x(x + 2) es impar. Es imposible que ambas relaciones se den a la vez.

Se puede razonar de una manera similar sin reducir a los números más bajos, sencillamente estudiando cuántos factores 2 tiene b, pero sería, a mi juicio, más complicado.