Desigualdad de fracciones

Enunciado

Este tipo de desigualdades tiene un aspecto peculiar. Se trata de una cantidad determinada de números positivos, juegan el mismo papel en la fórmula, y si todos fuesen iguales, la desigualdad se transforma en una igualdad.

En estos casos, suele poder hacerse con desigualdades sobre las medias potenciales y geométricas. En nuestro caso, el aspecto de la condición que cumplen los números nos recuerda a una media potencial de grado 2 sobre 1/a, 1/b y 1/c, o bien una de grado -2 sobre a, b y c.

Podíamos escribir que √((1/a² + 1/b² + 1/c²)/3) = √(9/3) = √3.

Y esta es la media potencial de grado 2, que es mayor, por ejemplo, que la media potencial de grado 1, que es la media aritmética habitual, es decir, que (1/a + 1/b + 1/c)/3 ≤ √3. Ahora, si pensamos en la fórmula que queremos comprobar, que evidentemente podemos comprobar que se transforma en una igualdad cuando todos los valores a, b y c son iguales, vemos que hay varias fracciones con denominadores diferentes.

Una de esas fracciones es, por ejemplo, 1/(2a + b). Una forma de transformar las fracciones de denominador polinómico mediante desigualdades es considerar las medias aritméticas y armónicas con las desigualdades potenciales (la armónica es la potencial de grado -1, y siempre es menor a la aritmética, de grado 1). La desigualdad viene a decir que ((1/a + 1/b + 1/c)/3)^-1 = 3/(1/a + 1/b + 1/c) ≤ (a + b + c)/3. Como suponemos que estros tres números son positivos, podemos arreglar algo los extremos de las fracciones para mostrar una desigualdad más acorde con nuestros intereses: 1/(a + b + c) ≤ (1/a + 1/b + 1/c)/9, y es válida para cualquier trio de números positivos.

En particular, para nuestra desigualdad, tenemos que 1/(2a + b) = 1/(a + a + b) ≤ (1/a + 1/a + 1/b)/9. De la misma forma, 1/(2b + c) = 1/(b + b + c) ≤ (1/b + 1/b + 1/c)/9 y 1/(2c + a) = 1/(c + c + a) ≤ (1/c + 1/c + 1/a)/9.

Resumiendo, nuestra expresión inicial, 1/(2a + b) + 1/(2b + c) + 1/(2c + a) ≤ (1/a + 1/a + 1/b)/9 + (1/b + 1/b + 1/c)/9 + (1/c + 1/c + 1/a)/9 = (3/a + 3/b + 3/c)/9 = (1/a + 1/b + 1/c)/3. Según hemos visto en un párrafo anterior, esto es la media aritmética de los inversos de a, b y c, que es menor que la cuadrática, por lo que esa expresión sería menor que √3, como queríamos demostrar.