Triángulos

Cuadrilátero con triángulos

Enunciado

Los comentarios al enunciado son correctos, pero no hay que olvidar que estos problemas deben resolverlos personas que están en sexto de primaria, o incluso en 1º de ESO, y que en su mayoría aún no dominan el álgebra lo suficiente como para comprender las fórmulas.

Todos los problemas necesitan comprender que los ángulos de un triángulo cualquiera siempre suman 180 grados, que una circunferencia completa tiene 360 grados, y que todos los ángulos de un triángulo equilátero miden 60 grados.

El apartado (a) se puede razonar como sigue:

Puesto que un cuadrilátero convexo puede dividirse en dos triángulos usando cualquier diagonal, que partirá a los ángulos interiores en dos trozos, es fácil comprobar que los ángulos interiores del cuadrilátero suman 360, puesto que los de cada triángulo suman 180.

Los ángulos exteriores en cada vértice, suman junto con los interiores, 4 circunferencias (es decir, 4*360. Como los interiores suman 360, los exteriores suman 3*360.

Si dibujamos los triángulos, cada triángulo le quita a los ángulos exteriores 120 grados para dejar reducidos los ángulos a los que hay entre ellos. Como son 4, quitarán 120*4 = 480. Si restamos esta cantidad a lo que hemos calculado antes, queda lo que suman los ángulos comprendidos entre los triángulos, 600 grados.

Octógono con triángulos

El apartado (b) es aún más abstracto, ya que no es sencillo ver cómo dividir el octógono en triángulos. Si nos fijamos, por ser convexo, basta unir dos vértices consecutivos y lo dividiremos en un triángulo y un heptágono, que también será convexo. Si repetimos la operación (podemos escoger cualquier par de vértices consecutivos, no tienen que ser los del ejemplo), iremos dejando cada vez un triángulo y una figura con un lado menos. Al final, el octógono original habrá sido dividido en 6 triángulos, cuyos ángulos formarán los ángulos originales del interior del octógono. Por eso esos ángulos del octógono suman lo que seis triángulos, es decir 3*360 grados.

Una vez que tenemos clara esta situación, basta ver que los ángulos externos, junto con los internos, forman 8 circunferencias completas. Puesto que los interiores suman 3, los exteriores deben sumar 5*360.

Al eliminar de estos ángulos los ocho triángulos, como cada uno elimina 120, pensemos que cada tres de ellos quitan una circunferencia completa, por lo que quitamos 2 circunferencias y 240 grados, es decir, quedan 2 circunferencias y 120 grados, o lo que es lo mismo, 840 grados.

Para el apartado (c) hay que dar un paso más general. La idea es que un polígono de 1000 lados podría dividirse de forma similar en nada menos que 998 triángulos, cuyos ángulos sumarían 499 círculos completos (la mitad).

Puesto que, con los ángulos exteriores, tendríamos 1000 círculos, tenemos que los ángulos exteriores suman 501 círculos.

Al dibujar los 1000 triángulos equiláteros, cada uno de ellos elimina 120 grados de los ángulos externos, por lo que cada 3 elimina un círculo completo. Se elimina del total 333 círculos completos y 120 grados. Esto significa que los ángulos entre triángulos sumarán un total de 167 círculos completos y 240 grados. Eso hace un total de 360*167 + 240 = 60360, como afirman los comentarios.