Números en un triángulo

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Los comentarios han dado soluciones distintas e interesantes. Voy a dar una algo mecánica, pero que no usa ninguna genialidad, ni ecuaciones.

Empecemos probando con números bajos. Si ponemos un 1 entre el 45 y el 17, como hacen falta 28 para llegar desde el 17 hasta el 45, el número que pongamos al otro lado del 17 debe ser 28 unidades más grande que el que ponemos al otro lado del 45.

Los números más bajos que podemos poner son 1 y 29, y en ese caso el lado del 45 sumará 1 + 45 + 1 = 47 y el del 17 sumará 1 + 17 + 29 = 47.

Como, además, esos dos números y el 10 tendrán que sumar lo mismo que cualquiera de los dos laterales, el ejemplo no valdrá, ya que 1 + 10 + 29 = 40. Tendremos que usar números algo mayores. Cuando aumentamos uno, aumentamos el otro, por lo que la suma de todo el lado del 10 subirá en 2, pero la suma de los otros lados subirá sólo en 1. Para que coincidan, necesitaré aumentar 7 veces, así que los primeros números que encuentro serán 8 y 36.

En este primer ejemplo, tendremos que 1 + 45 + 8 = 54, 1 + 17 + 36 = 54 y 8 + 10 + 36 = 54. Vemos que los tres lados suman 54.

¡Claro que puedo encontrar más soluciones! Si aumentamos los tres números a la vez, se mantendrá el equilibrio. Aumentarlos en 1, por ejemplo, poniendo 2, 9 y 37 hará que la suma de cada uno de los lados sea 56, en lugar de 54, pero será igual.

Bueno, existen infinitas soluciones, ya que podemos aumentar los números todo lo que queramos, siempre que aumentemos lo mismo. Si no se hace así, no puede ser que los lados sigan sumando igual.

Para que los tres lados sumen 80, como aumenta dos unidades la suma por cada una que aumentan los números, tendremos que ver cuanto falta para llegar de 54 a 80. Como son 26 unidades, basta aumentar cada número en 13. Así, los números que pondremos serán 14, 21 y 49. Comprobémoslo: 14 + 45 + 21 = 80, 14 + 17 + 49 = 80 y 21 + 10 + 49 = 80.