Puntuaciones imposibles
Numéricamente, lo que hemos de hacer es lograr ciertos números mediante combinaciones de sumas de 3 y 7, es decir, con expresiones de la forma 3a + 7b, donde a y b son enteros positivos o cero.
Una de las formas de tantear es probar con los números objetivo (37 y 38, en este caso), y restarle sucesivamente múltiplos de una de las cantidades, comprobando si es o no múltiplo de la otra. En este caso, restando 7 (por ser más sencillo estudiar la divisibilidad por 3) a 37 obtenemos 30, que es divisible por 3.
Eso quiere decir que 37 = 10*3 + 7, es decir, podemos conseguir 37 con 10 pepitas de oro y un diamante. No es la única forma, ya que también es posible lograrlo con 3 pepitas de oro y 4 diamantes (3*3 + 4*7 = 37). Son las únicas dos maneras de conseguir 37.
Para 38, tenemos que 31 = 38 - 7 no es múltiplo de 3, pero 24 = 31 - 7 sí lo es. Por eso, 38 = 8*3 + 2*7, es decir, con ocho pepitas de oro y dos diamantes, conseguiremos 38 puntos. También se puede lograr con una pepita de oro y 5 diamantes (3 + 5*7 = 38).
Para estudiar los valores que podemos lograr y los que no, podemos empezar por los más pequeños. Está claro que si podemos lograr un valor, sumar 3 o sumar 7 a partir de él será posible.
Está claro que 1 y 2 no son valores posibles, 3 sí. De nuevo 4 y 5 no pueden obtenerse, pero 6 sí. El 7 se puede conseguir claramente, pero 8 no. A partir de 6, se puede obtener el 9, y a partir del 7, el 10. El 11 es el último número que no se puede lograr, ya que 12 es posible lograrlo (9 + 3), 13 también (10 + 3) y 14, como 7 + 7, y, mediante sumas de 3, como tenemos 3 consecutivos, es posible llegar a todos los números.
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