Propiedad del baricentro

Enunciado

Para atacar este problema correctamente hay varios enfoques, pero me ha sido muy útil el dato de que el baricentro se encuentra exactamente a doble distancia del vértice que del punto medio del lado contrario.

Este hecho se usa también para mostrar que las tres medianas se cortan en un único punto.

La idea es trazar los segmentos perpendiculares a la recta, no sólo desde los vértices, si no desde los puntos medios de los lados.

Baricentro con línea y perpendiculares

En nuestro dibujo, el vértice que queda separado de los otros por la recta le llamo A, y los otros dos B y C. Evidentemente, A₁, que es el punto medio del segmento AB está en el mismo lado que B y C, y B₁ y C₁ están al mismo lado que A, porque si no la recta no podría pasar por el punto de corte.

Ahora, por semejanza, tenemos que el segmento desde C es doble que el de C₁, el de B es doble que el de B₁ y el de A es doble que el de ₁.

Como los puntos medios de los segmentos dividen en dos partes iguales a los lados, los segmentos que definen con respecto a nuestra recta también cumplen una relación especial. En efecto, es sencillo comprobar que el segmento de A menos el segmento de B₁ es exactamente igual que el segmento de B₁ más el segmento de C. De la misma forma, el segmento de B menos el segmento de A₁ vale lo mismo que el segmento de A₁ menos el de C, y el segmento de A menos el de C₁ vale lo mismo que el de B más el de C₁.

Vamos ahora a tratar de demostrar la igualdad que nos piden. Partimos de la suma de los segmentos de B y de C. Como hemos visto que el segmento de C más el de B₁ es igual al de A menos el de B₁, tenemos que el segmento de C es igual al segmento de A menos dos veces el segmento de B₁. Por lo tanto, la suma de los segmentos B y C es igual que la suma de B más A menos dos veces el segmento de B₁. Pero también sabemos que el segmento de B es exactamente doble que el de B₁, por lo tanto concluimos que la suma de los segmentos de B y C coincide con el de A.