jueves, 28 de abril de 2011

Alienígenas maripósidos

Enunciado

Este ha sido uno de los problemas qué más he disfrutado escribiendo. Se basa en otro que leí hace tiempo, y quería ponerle nombres divertidos.

La clave es que la transformación de estos tipos de alienígenas converge, ya que su número no varía. Dejemos de momento su convergencia, y estudiemos primero su punto de equilibrio.

Si en algún momento se quedan sin variación ¿qué cantidades habrá de cada uno? Llamemos a esas cantidades X gusánidos, Y maripósidos y Z jiráfidos. En ese caso, después de una semana, el número de gusánidos será 0.3X + 0.25Z = X, además 0.9Y + 0.7X = Y y 0.75Z + 0.1Y = Z. Sin embargo, estas tres relaciones son dependientes, es decir, una de ellas depende de las otras dos, como es fácil comprobar. Nos falta, por tanto, añadir que X + Y + Z = 1080, que es la relación clave. A partir de ahí, podemos averiguar los valores de estabilidad.

De la primera igualdad, obtenemos que 30X + 25Z = 100X, por lo que Z = 70X/25. De la segunda igualdad, 90Y + 70X = 100Y, obtenemos que Y = 7X. Substituyendo en la última igualdad, X + 7X + 70X/25 = 1080, por lo que 25X + 175X + 70X = 27000, es decir, 270X = 27000, de donde X = 100, por lo que Y = 700 y Z = 280.

Ahora que ya tenemos las cifras de equilibrio, podemos comprobar que se aproxima más y más cada semana a estas cifras. Puesto que hemos partido de tener todo gusánidos, supondremos que a lo largo de todo el proceso cada vez tenemos menos gusánidos y más de los otros tipos. En principio, la primera semana tendremos 324 gusánidos y 756 maripósidos (y 0 jiráfidos). Si estudiamos lo que sucede las primeras semanas, vemos que hay un pequeño caos al principio, pero luego parece que converge rápidamente. Las cantidades de las primeras semanas son las siguientes : en la segunda semana, (97, 907, 76), en la tercera, 48, 885 y 147 y en la cuarta 51, 830 y 199. Veamos si a partir de aquí podemos concretar la convergencia (en realidad, a partir de la semana 14 se alcanza de manera sencilla).

Para confirmar que está más próximo al objetivo, deberíamos usar tres variables nuevas, que serían sus diferencias con el objetivo, que serían las que podemos comprobar que se hacen menores.

Supongamos que escribimos el número de gusánidos como 100 + a, el de maripósidos como 700 + b y el de jiráfidos como 280 + c. Es fácil entender que a, b y c son números enteros y no todos tienen el mismo signo (ya que entre las tres cifras deben sumar exactamente 1080). Si fuesen 0, habríamos alcanzado una situación estable. Al cabo de una semana, aplicando las fórmulas, las tres cantidades se habrían convertido en 100 + 0.3a + 0.25c, 700 + 0.7a + 0.9b y 280 + 0.1b + 0.75c.

Las nuevas diferencias con el equilibrio serán 0.3a + 0.25c, 0.7a + 0.9b y 0.1b + 0.75c. Además, la suma de sus tres valores absolutos será menor o a lo sumo igual a la suma de los valores absolutos anteriores (|ax+by| es menor o igual que |ax| + |by|), y como no todos pueden tener el mismo signo, seguro que son inferiores.