viernes, 22 de abril de 2011

Dividiendo en dos un reloj

Enunciado

Hay varias formas de abordar la solución. Una de ellas sería directa, tratando de clasificar todas las formas posibles de pintar el reloj, pero resulta algo confusa. La segunda opción que se me ocurrió es más sencilla, ya que no requiere estudio de la coloración concreta.

La primera idea es que es suficiente prestar atención a uno de los seis colores, ya que si tenemos una sección en dos partes del reloj con tres rojos exactamente en una parte, habrá otros tres azules, y la otra parte tendrá la misma distribución.

Consideremos que se parte en dos en un primer momento, dejando los números del 1 al 6 en un lado y del 7 al 12 en otro.

Contemos cuántos rojos han caído en el lado del 1 al 6 (conjunto A).

Sera una cantidad entre el 0 y el 6. Si esta cantidad es 3, el problema está resuelto, pero si no lo es inclinamos ligeramente el corte hasta incluir otro número (por ejemplo, el 7) en el conjunto A, y eliminar de la selección otro (en este caso, el 1). La cantidad de rojos puede aumentar en una unidad, disminuir en una unidad, o permanecer igual.

Lentamente, podemos repetir este proceso hasta dar la vuelta al reloj con los cortes, de forma que lleguemos a tomar como conjunto A el otro lado del reloj (números del 7 al 12). Si hemos partido de una cantidad mayor que 3, ahora tendremos una cantidad menor que 3, porque tenemos el conjunto contrario, y viceversa.

Como hemos ido aumentando o disminuyendo de uno en uno la cantidad de números rojos, en algún momento habremos pasado por el número 3, y en ese momento tendremos el reloj dividido en la forma que se pedía.