jueves, 7 de abril de 2011

Triangulando números

Enunciado

Me ha gustado mucho la solución del comentario de Alex.

La idea es que, en efecto, si sumamos todos los números de los lados, para obtener la suma de cada lado, y luego sumamos los lados entre sí, habremos sumado tres veces los números de los vértices.

Entonces, como sabemos que la suma de los nueve números es 45, y los tres números más pequeños son 1, 2 y 3, la suma menor que podemos lograr es (45 + 6)/3 = 17, que en efecto se puede alcanzar con poco esfuerzo, poniendo el 5 y el 7 entre el 2 y el 3, el 4 y el 9 entre el 1 y el 3, y el 6 y el 8 entre el 1 y el 2.

Lograr una suma de 20 tampoco es complicado, hay que sumar entre tres números 15, por ejemplo 4, 5 y 6. Así, si sumamos 45 (la suma de todos) y 15 (la suma de los tres números), obtenemos 60, que sería la suma de los tres lados. Bueno, eso suponiendo que podemos situar los números restantes, que también es sencillo, colocando 1 y 6 entre 7 y 9, 2 y 4 entre 8 y 9, y 3 y 5 entre 7 y 8. Probablemente hay más soluciones.

Encontrar la suma mayor consiste en buscar tres números que sumen lo máximo posible, que deben ser 7, 8 y 9. Entonces 45 + 7 + 8 + 9 = 69, que es 23*3. Para ver si funciona, sólo hemos de tantear un poco, y lo conseguimos situando 1 y 6 entre 7 y 9, 2 y 4 entre 8 y 9 y 3 y 5 entre 7 y 8. No conseguiremos sumar más.