País de palillos

Enunciado

Estos problemas sobre estrategias de juegos son muy habituales entre los aficionados a los problemas de ingenio, aunque tienen muchos enfoques diferentes.

En el primer juego, lo importante es el número total de palillos que quedan sobre la mesa, ya que si es múltiplo de 4, el que juega está en una posición perdedora. De esta forma, como al principio hay 19 palillos, basta quitar 3 y dejar a nuestro rival con una posición perdedora.

Cuando el juegue, dejará 15, 14 o 13, y nosotros trataremos de quitar, respectivamente, 3, 2 o 1 palillos, hasta 12. Repetiremos la jugada, sumando 4 con nuestro rival, hasta que queden 4, ya que él no puede terminar, pero nosotros sí, en cuanto el retire alguno de los palillos sobrantes. Es una estrategia ganadora para el que empieza.

La forma ideal de encontrar esta estrategia consiste en empezar a estudiar el caso con muy pocos palillos, hasta descubrir los números que forman una posición ganadora o perdedora.

El segundo juego es ligeramente distinto, ya que es un juego del tipo del famoso NIM. Sin embargo, la estrategia en este juego se simplifica, ya que el número de palillos por letra es 5 - 5 - 4 - 5, y para equilibrar la partida basta quitar un palillo, por ejemplo, a la letra A, dejando 5 - 4 - 4 - 5. A partir de ahí, repetiremos las jugadas de nuestro adversario, tratando de que lo que él haga en la I, lo repetiremos en la A y viceversa, y lo que haga en la S lo repetiremos en la P y viceversa. Por ejemplo, si quita tres palillos a la s, nosotros quitamos tres palillos a la P. Al final, llegaremos a un punto en que no quedarán más que dos letras con la misma cantidad de palillos cada una, incluso puede que sólo un palillo cada una. Si hace desaparecer una letra, nosotros podemos acabar con la última. Por tanto, tenemos, como antes, una estrategia ganadora para el que empieza.

Un caso más general es más complejo, porque la estrategia conocida (y creo que única) consiste en descomponer las cantidades en suma de potencias de 2, y tratar de que todas las potencias de 2 aparezcan siempre un número par de veces.