Tres números y una condición

Enunciado

En este tipo de ecuaciones diofánticas hay que empezar por descartar las soluciones sencillas. Es evidente que (0, 0, 0) es una solución. Veamos si existen otras.

Si alguna de las variables vale cero, se da una igualdad muy sencilla que es falsa para cualquier par de enteros, porque ni 3 ni 2 son cuadrados perfectos. Así que las demás soluciones, si existen, tendrán todos los valores no nulos.

El siguiente paso es trabajar con las multiplicidades. No hay ningún problema con la paridad, pero si nos referimos a la divisibilidad por 3, sucede que la igualdad se puede escribir como a² - 2b² = 3c², y eso quiere decir que el primer término es divisible por 3.

Sin embargo, si a y b no son múltiplos de 3, se pueden escribir de la forma 3n + 1 o bien 3n - 1 para algún valor de n, y al elevarlos al cuadrados quedan en cualquier caso como un múltiplo de 3 más uno. Evidentemente, si restamos a un múltiplo de tres más uno el doble de otro, es imposible obtener un múltiplo de 3. Por lo tanto, ambos son múltiplos de 3.

Ahora bien, si a y b son múltiplos de 3, 3c² será múltiplo de 9, por lo que c también tendrá que ser un múltiplo de 3. Y, puesto que la igualdad se cumpliría también para cualquier terna que obtengamos a partir de una multiplicando (o dividiendo) por un mismo número, llegaríamos a que a/3, b/3 y c/3 también es una solución. Que, por el mismo motivo, debería ser divisible entre tres, y así sucesivamente.

Como es imposible que ningún número sea divisilbe entre tres una cantidad infinita de veces, no debe haber ninguna otra solución, además de la indicada.

También podemos suponer a priori que (a, b, c) forman la terna menor en valor absoluto, y llegaríamos a contradicción, dado que (a/3, b/3, c/3) es aún menor en valor absoluto.