Soluciones discriminadas

Enunciado

Este problema se basa, como muchos otros que incluyen polinomios y sus raíces, en las fórmulas (de Cardano-Vieta) que relacionan las raíces de un polinomio (aquellos valores que hacen que valga 0) con sus coeficientes. Consulta, si no conoces las fórmulas, el problema "Promediando coeficientes".

El caso es que, según sabemos, si las soluciones de una ecuación de segundo grado x² + px + q = 0 son D y 1 - D, sabemos que p = -(D + (1 - D)) y que q = D(1 - D). El discriminante, D, en una ecuación de segundo grado, es b² - 4ac, en este caso, D = p² - 4q.

En resumen, un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, p, q y D. Podría ser muy difícil de resolver, pero en este caso, la primera ecuación se queda en p = -1, con lo que una incógnita queda resuelta. La tercera se simplifica a D = 1 - 4q, con lo que podemos substituir dicha variable, que no nos interesa mucho, en la otra, que se transforma en q = (1 - 4q)(1 - (1 - 4q)). Operando con esta ecuación, q = (1 - 4q)4q = 4q - 16q².

Esta última igualdad es sencilla de transformar en una ecuación de segundo grado, 16q² - 3q = 0. Nos quedan en este caso dos soluciones, q = 0 y q = 3/16.

Si q = 0, la ecuación inicial es x² - x = 0 tiene por discriminante 1, y soluciones 1 y 0.

Si q = 3/16, la ecuación se convierte en x² - x + 3/16 = 0, de discriminante 1/4 y soluciones 1/4 y 3/4.

Más edades

Enunciado

El problema parece más confuso de lo que es. Julia es mayor que María, y compara la edad actual con la que tenían hace un tiempo. ¿Cuánto? Cuando Julia tenía la edad que tiene ahora María. Es decir, en el problema aparecen dos edades en dos momentos distintos.

Llamemos J a la edad de Julia y M a la edad de María, ambas en la actualidad. El otro momento, cuando Julia tenía la edad de María sucedió hace J - M años, porque J - (J - M) = M ¿verdad?

En ese otro momento, la edad de Julia era M, y la de María, M - (J - M) = 2M - J.

Bueno, pues el dato que nos dan es que J = 2(2M - J). Además, claro, del obvio M + J = 91.

Despejando este último, M = 91 - J, y substituyendo, obtenemos J = 4(91 - J) - 2J = 364 - 4J - 2J. De esta igualdad, tenemos que 7J = 364, por lo que J = 52. Y M = 91 - 52 = 39.

Julia tiene, pues, 52 años y María 39. Cuando Julia tenía 39 (hace 13 años), María tenía 26, la mitad de lo que tiene ahora Julia.

Entre dos fracciones

Enunciado

Si queremos comparar un número fraccionario a otro, debemos tenerlo con un denominador idéntico (o con un numerador, pero eso es menos frecuente). En este caso, podemos pasar las dos fracciones con las que queremos compararlo, 1/3 y 2/5 se pueden comparar poniendo un denominador común, con 30, que es el que queremos comparar. Quedarían como 10/30 y 12/30, multiplicando, respectivamente, por 10 y 6. Evidentemente, si K tiene que cumplir que 10/30 es menor que K/30 y éste tiene que ser menor que 12/30, K tiene que valer un número entre 10 y 12, que debe ser 11 (pues es entero).

Tres cuadrados diferentes

Enunciado

El área es fácil de calcular, ya que sabéis que el área de un cuadrado es el cuadrado del lado (de ahí su nombre). Dibujar las figuras una al lado de la otra no tapa ningún área, de forma que sólo habrá que sumarlas: 100 + 64 + 36 = 200 centímetros cuadrados.

El área sombreada no se parece a ninguna figura con nombre propio que yo conozca (podríamos llamarla escaleroide), pero la que no está sombreada sí ¡es un triángulo! Claro, hay truco, la zona roja es lo que queda cuando a la figura completa le quitamos (es decir, le restamos el área) el triángulo. ¿Qué área tiene el triángulo? Base por altura partido por 2. La base mide la suma de los lados de los tres triángulos, 10 + 8 + 6 = 24, y la altura, 10. Su área será 10*24/2 = 120. Por lo que el área de la zona sombreada vale 200 - 120 = 80 centímetros cuadrados.

Cinco esferas tangentes

Enunciado

La primera vez que vi el enunciado me pareció imposible que cinco esferas fueran tangentes cada una de ellas a todas las demás, pero eso fue porque mi mente trataba de verlas como esferas del mismo radio. Voy a intentar explicar cómo romper el bloqueo.

Tres esferas

Piensa primero en tres esferas tangentes cada una de ellas a las otras dos, y del mismo tamaño. Evidentemente, sus centros ocupan los vértices de un triángulo equilátero, y vistas desde arriba respecto al plano que ocupan sus centros, tendrían el aspecto del dibujo.

Una esfera tangente a las tres debería tener su centro en la recta vertical al triángulo que forman sus centros y que pasa por el centro, y tener el tamaño adecuado. Cualquier punto de la recta es válido para centro, pero cada uno proporciona un radio diferente. Sin embargo, es evidente que podemos poner esferas por un lado o por otro del plano, y, si queremos dos que sean iguales, cada una de ellas estará en un lado del plano.

Pero ¡hay más! Deben ser tangentes entre sí, así que la única posibilidad, dada la simetría de la figura, es que su punto de tangencia sea el mismísimo centro del triángulo que forman los centros de las tres esferas primeras.

Otras dos esferas

Esta situación la he pintado en un corte vertical en el dibujo que hay aquí. He dejado sólo las nuevas dos esferas y una de las tres (las otras tres taparían parte del dibujo), de forma que el corte permita ver los puntos de tangencia. Me he tomado la libertad de dibujar la escala real a la que se ve la solución del problema, con lo que apreciamos que las dos bolas iguales son muy pequeñas respecto a las tres del principio.

Para encontrar la proporción entre ambos radios, que es lo que pide el problema, podemos hacer que uno de ellos (por ejemplo, el que es común a las tres primeras bolas) sea 1. El valor del otro será la proporción, pues bastará tomar el primero como unidad de medida. Necesitamos la distancia del centro de la esfera, vértice del triángulo, al centro del triángulo. Como es un triángulo equilátero de lado 2, utilizando razones trigonométricas, o triángulos rectángulos, se puede obtener que esta distancia es 2 por raíz de 3 partido 3.

Todas juntas

Sabiendo el valor de esa distancia, vemos que se puede formar, siguiendo los radios de tangencia y la línea horizontal, un triángulo rectángulo de hipotenusa la suma de los dos radios (1 + r), y de catetos la distancia de centro de la esfera a centro del triángulo, y el radio desconocido (r). Siguiendo el teorema de pitágoras, tenemos que (1 + r)² = d² + r². Como conocemos el valor de d, sabemos que d² vale 4/3, por lo que 1 + 2r + r² = 4/3 + r². Simplificando, 2r = 1/3, es decir, r = 1/6. Es decir, que el radio de las dos esferas es la sexta parte de las tres iniciales.

Círculos

Enunciado

Líneas útiles

Como de costumbre en los problemas de cálculo de áreas o distancias, estudiaremos los radios de las circunferencias implicadas, de forma que voy a dibujar los dos radios de la circunferencia mayor que atraviesan por el centro a la circunferencia coloreada y a su vecina, como se ve en el dibujo adjunto.

Desplazando fragmentos

Es claro que puedo trasladar la mitad coloreada de la circunferencia que queda debajo del radio a la mitad de la circunferencia sin colorear que queda por encima del otro radio, sin que varíe el área coloreada (ver el segundo dibujo).

Ahora, el área coincidirá casi totalmente con la cuarta parte de la circunferencia grande, a la que tendremos que quitar un pequeño fragmento de área que calcularemos luego.

Calculando medidas

¿Qué radio tiene la circunferencia grande? Si dibujo los radios de las circunferencias pequeñas que se tocan en los puntos tangentes, estoy dibujando un cuadrado. Un radio de la grande que pase por uno de los vértices del cuadrado tiene de longitud media diagonal del cuadrado más el radio de la circunferencia pequeña. Como el lado del cuadrado mide 2 (centímetros), medio diámetro medirá raíz de 2, y el radio de la grande, por tanto, uno más raíz de 2. El área de un cuarto de circunferencia será, por tanto ese radio al cuadrado por pi y dividido por cuatro, es decir, aplicando el cuadrado de la suma, tres más dos por la raíz de dos, todo ello multiplicado por pi y dividido por cuatro.

El centro

Pero falta calcular el área del pequeño fragmento central, que habrá que restar. Si observamos de cerca el centro del dibujo, veremos que el fragmento que debemos quitar es la cuarta parte del objeto central del dibujo. Visto así, el objeto al completo (sombreado en dos colores en el dibujo) se ve como la diferencia entre un cuadrado y cuatro cuartas partes de un círculo, es decir, un círculo completo. Es decir, que el área del objeto completo sería 4 menos pi, por lo que su cuarta parte sería 1 menos pi cuartos.

Valor final

Por tanto, restar ambos valores sería la solución, cuya expresión sería pi (sumar tres pi cuartos más un cuarto de pi), más raíz de 2 entre 2 por pi, menos uno, lo que da la expresión representada en la imagen. Su valor aproximado es 4,363034123 centímetros cuadrados.

Comer unos bocadillos

Enunciado

En realidad, este problema es muy similar al de los botijos.

La clave está en entender bien la situación. Si reparten 6 bocadillos, aún sobran 5, pero si reparten estos 5 entre todos los amigos, aún faltan 8 para que toquen a uno más. Es decir, que el número total de amigos es de 13 (8 + 5).

Y, claro, 6*13 = 78 bocadillos sí se pueden repartir, y sobran 5, por lo que tienen un total de 83. Buena merienda.

El peso de la fruta

Enunciado

Este es un ejercicio en el que se busca substituir una cosa por otra que pese lo mismo, hasta que tengamos el resultado que queremos. Para hacer los cambios, hay que fijarse en lo que tenemos inicialmente. Tres manzanas y una pera pesan lo mismo que diez albaricoques, y una pera pesa lo mismo que seis albaricoques y una manzana.

Por otra parte, lo que queremos es comparar peras y manzanas, de forma que se trata de buscar la manera de cambiar los albaricoques por peras y manzanas.

Podemos tantear, poniendo seis albaricoques y una manzana en el primer plato de la balanza, junto a las tres manzanas y la pera, mientras que en el otro lado queda una pera y diez albaricoques. Quitando lo que es igual en los dos platos, tenemos que en el primer plato quedan cuatro manzanas, y en el segundo quedan cuatro albaricoques. Por tanto, los albaricoques pesan lo mismo que las manzanas.

Como nos dijeron al principio que una pera pesaba lo mismo que seis albaricoques y una manzana, eso hace que pese lo mismo que siete manzanas, que es lo que nos preguntan. Otro método sería multiplicar las cantidades para que haya los mismos albaricoques en las dos frases, para poder usarlos de unidad de medida.

Así, poniendo tres veces lo que nos dicen, sabríamos que 9 manzanas y 3 peras pesan lo mismo que 30 albaricoques, mientras que (multiplicando por 5) 5 peras pesan lo mismo que 30 albaricoques y 5 manzanas. De esta manera, podemos cambiar los 30 albaricoques por su peso equivalente y tendríamos que 5 peras pesan lo que 14 manzanas y 3 peras. Quitando 3 peras de la balanza, 2 peras pesan lo que 14 manzanas, de donde (de nuevo) concluimos que cada pera pesa como 7 manzanas.