Promediando coeficientes

Enunciado

Podemos optar, en estos casos, a experimentar un poco, pero será necesario tener cierto conocimiento sobre la relación entre los coeficientes y las soluciones o raíces de una ecuación.

Por si no te lo han explicado (fórmulas de Cardano-Vieta), la ecuación x² + ax + b = 0 tiene a lo sumo dos raíces, y, si las tiene y se llaman x₁ y x₂, entonces necesariamente el polinomio x² + ax + b = (x - x₁)(x - x₂). Observa que para que se dé esta situación, el coeficiente de la potencia mayor debe ser 1. Desarrollando el producto anteriormente citado, tenemos que (x - x₁)(x - x₂) = x² +(-x₁-x₂)x + x₁x₂, es decir, que el coeficiente a es x₁+x₂ cambiado de signo y el coeficiente b el producto x₁x₂. Esta relación de coeficientes y raíces es necesaria y suficiente, esto, es, sólo existe con las raíces y si existe con un conjunto de números, éstos coinciden con las raíces.

Así, si tenemos dos ecuaciones, en la que la primera tiene las raíces 2 y 5, y la segunda, 2 y 7, los coeficientes de la primera serán -7 y 10, y los de la segunda, -9 y 14. Promediando, obtendremos la ecuación de coeficientes -8 y 12, que tiene por soluciones 2 y 6. Podemos trazar, entonces, la hipótesis de que las soluciones parecen ser la que es común a todas las ecuaciones y otra que sería el promedio de todas ellas. Veamos si podemos demostrarlo.

Cada uno de los a_i es igual a -x₀-x_i, y cada uno de los b_i es igual a x₀x_i.

La suma de todos los a_i será igual, entonces a -nx₀-(x₁ + x₂ + ... + x_n).

Por otra parte, la suma de todos los b_i tendrá un factor común x₀, por lo que podrá expresarse como x₀(x₁ + x₂ + ... + x_n).

La ecuación que queremos resolver queda, por tanto, x² + ((a₁ + a₂+ ... + a_n)/n)x + ((b₁ + b₂ + ... + b_n)/n) = x² + (-nx₀/n-(x₁ + x₂ + ... + x_n)/n)x + x₀(x₁ + x₂ + ... + x_n)/n = x² + (-x₀-(x₁ + x₂ + ... + x_n)/n)x + x₀(x₁ + x₂ + ... + x_n)/n, que es el polinomio que tiene por raíces x₀ y (x₁ + x₂ + ... + x_n)/n (podemos substituir la x por cualquiera de los dos y se anula, o, más sencillo, comprobar la relación entre coeficientes y raíces).

A saltos por el paseo

Enunciado

Este problema es sencillo porque tiene varias soluciones muy asequibles. Una de ellas nos la proporciona Anil en los comentarios (mira el enunciado).

Otra, muy similar, consiste en estudiar qué fracción de las baldosas hemos recorrido con nuestros saltos. En el camino de ida hemos recorrido 1/3 de las baldosas, y, en el de vuelta, 1/2. En total, 1/2 + 1/3 = 5/6 del total de baldosas. Como sabemos que eso son 100 baldosas, el total será 100/(5/6) = 100*(6/5) = 120.

Otra distinta es probar la situación en un tamaño menor. ¿Cuántos saltos daría si el paseo tuviese 6 baldosas (tomo 6 para poder dar saltos de 2 en 2 y de 3 en 3)? Si probáis, veréis que has de dar 5, 2 en la ida y 3 en la vuelta. Como en nuestro caso he dado 20 veces más saltos (100/5 = 20), el paseo tendrá 20 veces más baldosas, 6*20 = 120.

Área a partir del perímetro

Enunciado

No se puede saber, si no conocemos más datos de una figura, su área a partir de su perímetro, aunque sí podríamos acotarla (establecer su área máxima). Sin embargo, en este caso sí sabemos (y mucho) acerca de las figuras con las que trabajamos.

Trazado auxiliar

Como los rectángulos son iguales, sus lados cortos son iguales, y dividen en tres partes iguales al lado del cuadrado, que también coincide con su lado largo. Luego su lado largo es tres veces su lado corto. Esto se hace evidente si se trazan tres líneas auxiliares (que me mostraron los alumnos de primero de ESO con los que trabajé este curso) como las que aparecen en el dibujo.

El caso es que ese perímetro es ocho veces la longitud del lado corto (dos por los dos cortos y seis por los dos largos), es decir, que el lado corto mide 3 unidades, y el lado largo, tres veces mayor, 9.

El área del cuadrado es, por tanto, 81 unidades de área. Por cierto, ¿alguien sabe cómo es la figura que más área tiene, si obligamos a que tenga un perímetro determinado?

El campamento de verano

Enunciado

Como ya sabéis, para repartir en grupos iguales a las 96 personas del campamento, hay que dividir, y que el resultado sea exacto.

Como además, el número de personas de cada grupo debe ser mayor que 5 y menor que 20, el resultado de la división debe estar comprendido entre esos dos números.

Si nos fijamos bien, observaremos que al dividir, si da exacto, el cociente es también un divisor del número, que en este caso es 96.

Así, como dice Anil en su comentario, buscamos cuántos divisores entre 5 y 20 tiene 96.

Mirando su descomposición, 2*2*2*2*2*3 podemos reconocer fácilmente a sus divisores, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 3, 6, 12, 24, 48 y 96, ya que todos son, o potencias de 2, o múltiplos de éstas por 3.

Los que buscamos concretamente son 6, 8, 12 y 16.

Es decir, de cuatro tamaños diferentes: 16 de 6, 12 de 8, 8 de 12 y 6 de 16.

Área descubierta

Enunciado

Dibujo figura

Como podemos apreciar en el dibujo, la figura que buscamos es una figura irregular, delimitada por los segmentos FC y CE, y los arcos de circunferencia ED y DF. Aparentemente, no responde a ninguna fórmula típica para cálculo de área. Como se ha conseguido a partir de eliminar zonas de un triángulo de área conocida, podemos tratar de llegar a averiguar su área mediante restas, siempre que podamos averiguar las áreas que hemos eliminado o cubierto. Hemos de observar que los ángulos en A y B son de 45 grados, es decir, que las zonas delimitadas por los sectores circulares AED y BFD son la octava parte de un círculo completo, cuya área podemos obtener a partir de su radio.

El primer arco trazado, AED, es de área conocida, la mitad del triángulo ABC. Como el área de este triángulo es 2*2/2 = 2 unidades de área, el área de AED será de una de estas unidades. Sin embargo, el otro arco se traza tangente a DE en D, de forma que lo único que sabemos es que su radio completa la hipotenusa del triángulo ABC, AB, uniéndolo al anterior.

Nos hace falta calcular el radio del primer arco, AED, y deducir de él el del otro, BDF, para poder calcular el área que cubre. Como el área de AED es 1 y es la octava parte del círculo completo, ese círculo tendrá área 8, y su radio será la raíz cuadrada del cociente de 8 entre pi.

Fórmula del radio

Puesto que el segmento AB es la hipotenusa de ABC, su longitud será la raíz de 8 unidades. por lo que el radio del otro sector circular, se calculará restando a raíz de 8 el resultado anterior (ver expresión de la imagen).

Ahora, para hallar el área de la circunferencia, es necesario elevar ese radio al cuadrado y multiplicarlo por el número pi, de donde queda, aplicando el cuadrado de la resta, la expresión 8 más 8 por pi menos 16 por la raíz cuadrada de pi. El área del sector será la octava parte, es decir, 1 más pi menos 2 por la raíz cuadrada de pi.

Solución

Ahora queda calcular el área de la zona que buscamos, restando a 2 (área del triángulo) el área del primer sector (1) y el área del segundo (la expresión citada anteriormente), quedando la expresión del resultado como queda en la imagen, 2 por la raíz cuadrada de pi menos pi, que tiene un valor aproximado de 0,403315048.

Operaciones

Enunciado

La primera de estas preguntas se trata, en realidad, de una suma de las llamadas telescópicas. En lugar de sumar uno por uno todos los sumandos, debemos agruparlos a pares consecutivos, por ser más sencilla su suma. Así, 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... + 99 - 100 pasa a ser (1 - 2) + (3 - 4) + (5 - 6) + ... + (99 - 100), es decir, (-1) + (-1) + (-1) + ... + (-1), donde aparecen 50 sumandos iguales, es decir, que esa suma es -50.

La segunda de las cuestiones trata de obtener la cantidad de páginas de un libro a partir de la suma de la cantidad de dígitos con los que se ha numerado, 2989. Revisemos la cantidad de dígitos que se usan para las primeras páginas, hasta llegar a esa cifra.

Para las 9 primeras páginas, usamos un dígito para cada una, es decir, 9 dígitos en total. Las páginas desde la 10 hasta la 99 (90 en total) necesitan dos dígitos, con lo que usaremos 90*2 = 180 dígitos más, que sumados a los 9 anteriores hacen un total de 189 dígitos hasta la página 99.

A partir de la página 100, hasta la 999 (900 en total) necesita cada una tres dígitos, es decir, que podríamos usar 900*3 = 2700 dígitos en total para numerarlas. Sumados a los empleados anteriormente, tenemos 2700 + 189 = 2889. Esta cifra es muy próxima a la que necesitamos, 2989, de hecho sólo hemos de emplear 2989 - 2889 = 100 dígitos más.

Como las páginas a partir de la 1000 necesitan 4 dígitos cada una, sólo podemos numerar 100/4 = 25 páginas más, hasta llegar a la 1024.

Por tanto, el libro tiene 1024 páginas.

El dinero de Iván

Enunciado

Este tipo de problemas es muy frecuentemente resuelto de una forma excesivamente larga y complicada. Como sabemos resolver ecuaciones, nos lanzamos a resolver, sin pensar demasiado, todos los problemas con ecuaciones.

Sí se puede pero es un sistema poco eficaz. Hay otro método que es mucho más efectivo, pese a ser equivalente. Tratar de resolver paso a paso el problema, pero hacia atrás. Esto es, partiendo del resultado final y, como un detective, reconstruir lo que pasó en el punto anterior.

Al final, Iván se queda sin dinero, luego antes de darle al diablo los 8 rublos, tenía 8 rublos. Eso significa que antes de cruzar por tercera y última vez el puente, tenía 4. Antes de eso, le dió 8 al diablo, luego tenía 12. Por tanto, la segunda vez que fue a cruzar el puente tenía 6, y cuando le dio 8 al diablo tenía, por tanto, 14. Por eso, antes de cruzar por primera vez el puente tenía 7.

Como ya he dicho, hay muchos problemas así ¿como los reconocemos? Porque somos capaces de seguir sin mucho esfuerzo las operaciones desde el final hasta el principio. A veces, merece la pena intentarlo.

Sudoku

Enunciado

De nuevo nos encontramos con un sudoku. En este cso, para resolverlo ha bastado buscar por orden los números en cada uno de los cuadros de una misma línea. En la mayoría de los casos, eso bastaba para encontrar la ubicación de los números que faltaban. En caso contrario, se pasaba al siguiente número, o a la siguiente línea vertical u horizontal. Dejo la solución, pero si alguien encuentra dificultades en resolverlo, que pregunte y haré un esfuerzo resolviéndolo paso a paso.

Solución